MLE của phân phối Poisson-Gamma?

Question

Tôi đang cố gắng tạo một ví dụ áp dụng ước lượng tham số đầy đủ. Tôi đang sử dụng phân phối Gamma-Poisson trong đó biến ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên Poisson có giá trị trung bình$\lambda$ có phân phối Gamma với các tham số $\alpha$ và $\beta$. Cũng được ký hiệu là$X \sim \textrm{Gamma-Poisson}(\alpha,\beta)$ với hàm khối lượng xác suất

\ begin {method *} f (x) = \ frac {\ Gamma {(x + \ beta)} \ alpha ^ {x}} {\ Gamma (\ beta) (1+ \ alpha) ^ {\ beta + x} x!} \; \; \; x = 0,1,2, ... \ end {phương trình *}

Tôi quen với cách giải quyết cho MLE nhưng không hoàn toàn chắc chắn với bản phân phối này. Hiện tại những gì tôi có ở bên dưới nhưng tôi không chắc về$\Gamma$ chức năng.

\begin{align*} L(\theta) &= \prod_{i=1}^{n} \frac{\Gamma{(x_i+\beta)}\alpha^{x_i}}{\Gamma(\beta)(1+\alpha)^{\beta+x_i}x_i!} \\ \textrm{ln} \; L(\theta) &= \sum_{i=1}^{n} \textrm{ln} \left(\frac{\Gamma{(x_i+\beta)}\alpha^{x_i}}{\Gamma(\beta)(1+\alpha)^{\beta+x_i}x_i!}\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \big[\textrm{ln}\:\Gamma{(x_i+\beta)} + x_i\:\textrm{ln}\:\alpha - \textrm{ln}\:\Gamma(\beta) - (\beta+x_i)\:\textrm{ln}\:(1+\alpha) - \textrm{ln}\:(x_i!)\big] \\ & \; \vdots \\ \frac{\partial}{\partial\alpha}\;\textrm{ln}\;L(\theta) &= \dots = 0 \\ \hat{\alpha} &= \\ \frac{\partial}{\partial\beta}\;\textrm{ln}\;L(\theta) &= \dots = 0 \\ \hat{\beta} &= \end{align*}

Answer 1

Bạn sẽ không thể giải điều này về mặt số học, cần phải phân tích số để tìm MLE cho phân phối beta (và sau đó là phân phối mà bạn đang thảo luận ở đây).

https://www.real-statistics.com/distribution-fitting/distribution-fitting-via-maximum-likelihood/fitting-beta-distribution-parameters-mle/

Answer 2

Bạn có thể giải 𝛼 về mặt 𝛽 và đối với 𝛽 bạn cần làm việc với Hàm Digamma .