Nhầm lẫn về tiếp tục phân tích.
Định nghĩa về sự tiếp tục giải tích của hàm holomorphic được phát biểu như sau:
Để cho $f_{1}$ và $f_{2}$ là hai hàm phân tích trên hai miền (mở và kết nối) $\Omega_{1}$ và $\Omega_{2}$ như vậy mà $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. Nếu$f_{1}$ và $f_{2}$ đồng ý $\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, chúng tôi nói $f_{2}$ là sự tiếp tục phân tích của $f_{1}$ trên $\Omega_{2}$, và ngược lại.
Một phiên bản nhỏ hơn của nó là:
Nếu $f$ là phân tích trên một miền $D\subset\mathbb{C}$ và $F$ là phân tích trên một miền lớn hơn $E\subset\mathbb{C}$ như vậy mà $f=F$ trên $D\subset E,$ sau đó $F$ là sự tiếp tục phân tích của $f$ trên $E$.
Từ những gì tôi đọc, loại kỹ thuật này cho phép chúng ta xác định một hàm trong một miền nhỏ hơn và mở rộng nó về mặt phân tích sang một miền lớn hơn. Nhưng tôi không hiểu tại sao định nghĩa này lại cho phép chúng ta làm như vậy.
Điều làm tôi bối rối là định nghĩa chỉ đảm bảo $f=F$ trên giao lộ $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, đương nhiên rồi $f\neq F$ trên $\Omega_{2}$, sau đó làm thế nào để tôi biết $f$ phân tích trên $\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
Tôi đã cố gắng sử dụng định lý nhận dạng như sau:
Để cho $f$ và $g$ là hai hàm holomorphic trên một miền $D$ như vậy mà $f=g$ trên một tập hợp con $S\subset D$ chứa một điểm giới hạn, sau đó $f=g$ trên toàn bộ $D$.
Nhưng điều này có vẻ lạc hậu. Theo giả thuyết về sự tiếp tục phân tích, chúng ta chỉ có$f=g$ trên $S$, và $g$ phân tích trên $D$, chúng tôi không thực sự biết nếu $f$ là phân tích trên toàn bộ $D$ (đây là mục đích của việc tiếp tục phân tích, phải không? để mở rộng $f$ phân tích toàn bộ $D$.)
Có phải tôi đã suy nghĩ quá nhiều về điều này và tự nhầm lẫn không ?? Tôi đoán chúng ta nên có, nói$f_{1}=f_{2}$ trên toàn bộ $\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều đó.
Chỉnh sửa 1: (Một số làm rõ, câu trả lời có thể và tài liệu tham khảo)
Tôi xin lỗi nếu tôi đang hỏi một câu hỏi nhầm lẫn (không tốt). Sự nhầm lẫn của tôi là, mặc dù sự tiếp tục phân tích tồn tại, tôi không nghĩ rằng điều đó có nghĩa là bất cứ điều gì hữu ích. Nó chỉ cung cấp cho chúng ta một chức năng phân tích$F$ trên một miền lớn hơn $\Omega_{2}$ như vậy mà $F|_{\Omega_{1}}=f$ cho $\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. Nhưng nó không nói gì về$f$, $f$ vẫn ở trong $\Omega_{1}$. Vì vậy, tôi không hiểu tại sao việc tiếp tục phân tích có thể mở rộng miền mà trên đó$f$ là phân tích.
Cuốn sách "Phân tích phức hợp và ứng dụng" của Hemant Kumar Pathak, có một chương nói về sự tiếp tục của phép phân tích.
Như Jose đã đề xuất, không có ý nghĩa gì khi nói $f=F$ trên $\Omega_{2}$, bởi vì $f$ đang trên $\Omega_{1}$.
Cuốn sách giải thích rằng nếu chúng ta tiếp tục phân tích $f_{1}$ từ $\Omega_{1}$ thành $\Omega_{2}$ thông qua $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, sau đó là giá trị tổng hợp của $f_{1}$ trong $\Omega_{1}$ và $f_{2}$ trong $\Omega_{2}$ có thể được coi là một chức năng duy nhất $f(z)$ phân tích trong $D_{1}\cup D_{2}$ như vậy mà $$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
Điều này thực sự làm rõ mọi thứ. Điều này giống như những gì chúng tôi đã làm khi muốn loại bỏ điểm kỳ dị: nếu$f_{1}$ có một điểm kỳ dị có thể tháo rời tại $z_{0}$, sau đó chúng tôi thực sự mở rộng $f_{1}$ đến $f$ bằng cách xác định $$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
Do đó, chúng tôi thực sự đang mở rộng $f_{1}(z)$ đến $f(z)$, không phải $f_{2}(z)$. Chúng tôi sắp hoàn thành$f_{1}(z)$ thành $\Omega_{2}$ bằng cách xác định $f(z)$.
Tôi hy vọng lời giải thích của tôi có thể giúp những người nghiên cứu phân tích phức tạp và cảm thấy khó hiểu về việc tiếp tục phân tích.
Hãy thoải mái bổ sung thêm bất cứ điều gì!
Trả lời
Các định lý đó không phải là để mở rộng các hàm giải tích, theo nghĩa là chúng không nói về khả năng mở rộng một hàm như vậy. Những gì họ nói là bạn có thể mở rộng một hàm phân tích, nhiều nhất là theo một cách duy nhất. Vì vậy, chúng nói về tính duy nhất của các tiện ích mở rộng, không phải về sự tồn tại của chúng .
Nói chính xác hơn, họ nói rằng nếu $\Omega_1$ và $\Omega_2$ là các miền, với $\Omega_1\subset\Omega_2$, và nếu $f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$là một hàm phân tích, thì chỉ có nhiều nhất là một hàm phân tích$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$ hạn chế của ai đối với $\Omega_1$ Là $f$. Nhưng hoàn toàn có thể là không có! Đó là trường hợp, ví dụ,$\Omega_1=D(0,1)$, $\Omega_2=\Bbb C$ và $f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$ được định nghĩa bởi $f(z)=\frac1{z-2}$.