Quỹ đạo của $SO(3)$

Question

Tuyên bố từ chối trách nhiệm: câu hỏi này đã có một số chỉnh sửa; cái này xử lý trường hợp$k=\mathbb{R}$, trong khi tôi sẽ đăng một cái khác cho trường hợp phức tạp.

Xem xét hành động của $SO(3)$ trên $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, với tọa độ đồng nhất $x_0,x_1,x_2$, có dạng $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Tôi muốn hiểu quỹ đạo của hành động này là gì và hiểu liệu hành động có bắc cầu hay không, nghĩa là $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ đó là, kể từ $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Tôi muốn học $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Để làm như vậy, tôi xem xét đơn giản $p=(1:0:0)$và tôi đã tìm thấy điều đó $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $A$ is equal to $p$}\}.$$ Để kết luận, tôi nên chỉ ra rằng đã cho một điểm $y\in \mathbb{P}^2$, tồn tại một ma trận $B\in SO(3)$ như vậy mà $Bp=y$, tức là cột đầu tiên của $B$ bằng $y$. Thật không may, bây giờ tôi bị mắc kẹt, vì tôi không biết cách tạo ma trận đơn giản từ một cột$y$.

Answer 1

Bạn cần một ma trận $B$ như vậy mà $Bp$ tỷ lệ với $y$ (nghĩ đến việc $y$ như một vectơ trong $\Bbb R^3$). Vì vậy, bước đầu tiên là thay thế$y$ với $y/\|y\|$, để nó là một vector đơn vị. Sau đó, bạn cần một ma trận xoay có cột đầu tiên là$y$. Hai cột còn lại phải trực giao với$y$, và họ phải được định hướng tích cực. Vì vậy, đây là một công trình:

Hãy để mục nhập nhỏ nhất của $y$, về giá trị tuyệt đối, là $i$thứ tự. Để cho$w = e_i$. Tính toán$$ v = w - w \cdot y $$ trực giao với $y$ (tại sao nó không thể là 0? Đó là một bài tập cho bạn), và sau đó hãy $$ u = v / \| v \| $$ là một vector đơn vị trực giao với $y$. Sau đó, hãy để$B$ là một ma trận với các cột $y, u, $ và $y \times u$.

Nhưng lưu ý rằng điều này hoạt động cho mọi điểm $y$, không chỉ những thứ trên đường cong của bạn $C$, vì vậy tôi không thực sự hiểu cách này giải quyết vấn đề của bạn. Tôi có lẽ đã hiểu lầm điều gì đó.