Tại sao lại là $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Cho A là một ma trận khác không vuông. Tại sao đẳng thức sau đây là đúng?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Cố gắng:

Vì giá trị riêng của ma trận vuông $X$, là nghịch đảo của giá trị riêng của $X^{-1}$, chúng ta có:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Tôi có những thứ sau:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

Những gì bạn muốn chứng minh là khá đơn giản và đúng với tất cả các ma trận vuông, không chỉ những ma trận có dạng $A^TA$. $\nu$ là một giá trị riêng của $P$ iff $1-\nu$ là một giá trị riêng của $I-P$. Do đó, bất kỳ giá trị đặc trưng nào của$I-P$ có dạng $\nu=1-\lambda$ Ở đâu $\lambda$ là một giá trị riêng của $P$. Lấy mức tối thiểu,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ từ $1-\lambda$ được giảm thiểu khi $\lambda$ là tối đa.