Thoát khỏi máy bay
Một buổi sáng chủ nhật, bạn thức dậy và thấy mình hoàn toàn đơn độc trên một mặt phẳng phẳng lặng vô tận. Bạn không nhớ gì nhiều về đêm hôm trước, ngoài việc bạn có thể đã chọc giận một thuật sĩ. Bên cạnh bạn, bạn tìm thấy một bảng màu với vô số màu sắc và một ghi chú, ra lệnh cho bạn như vậy:
Bạn phải tô mọi điểm trên mặt phẳng này, sao cho tôi sẽ không bao giờ có thể tìm thấy một tam giác có các đỉnh cùng màu và diện tích hợp lý.
Nếu bạn có thể quản lý tác vụ này, trình hướng dẫn sẽ cho phép bạn tự do - thất bại và bạn bị mắc kẹt mãi mãi. Bạn không nghi ngờ khả năng của thuật sĩ, vì vậy không có thủ thuật rẻ tiền ở đây. Xem xét vấn đề, bạn bắt đầu làm việc - và một khoảng thời gian vô hạn sau đó, thuật sĩ đứng bên cạnh bạn, ngưỡng mộ công việc thủ công của bạn.
Trình hướng dẫn có giải phóng bạn không?
CHỈNH SỬA: Để loại bỏ các câu trả lời tư duy bên dựa trên khung của câu hỏi, đây là một phát biểu toán học chính thức của câu đố:
Có tồn tại màu của $\mathbb{R}^2$ sao cho không thể tìm thấy một tam giác có các đỉnh cùng màu và diện tích hợp lý?
Trả lời
Supertask rất thú vị.
Trong mặt phẳng 2D, bất kỳ ba điểm noncolinear nào tạo thành một tam giác, vì vậy chỉ sử dụng 2 điểm của mỗi màu. Bởi vì bạn có vô số màu sắc, bạn sẽ không bao giờ hết màu sắc. Tuy nhiên, điều này không giúp chúng tôi thoát khỏi cái chết của mình, vì nhiệm vụ này sẽ mất một khoảng thời gian không thể đếm được, khiến chúng tôi bị mắc kẹt trong máy bay. Vì vậy, chúng ta phải tiếp cận điều này như một siêu nhiệm vụ. Tô điểm đầu tiên trong 1 phút, tô điểm thứ hai trong nửa thời gian, tô thứ ba trong nửa thời gian của giây, v.v. Chỉ trong hai phút, và dù trình hướng dẫn cần kiểm tra bao lâu, bạn sẽ không bị lỗi máy bay!
Biên tập:
Giải pháp trên gặp phải vấn đề là bạn hết màu vì có vô số điểm không đếm được trên $\mathbb{R}^2$và có vô số màu sắc. Tôi có thể đến gần hơn một chút bằng cách tăng số màu của mình. Thay vì nghĩ về màu sắc khi lớp sơn rời rạc mà thuật sĩ đã đưa cho tôi, bây giờ tôi sẽ xem xét bước sóng ánh sáng mà sắc tố phản chiếu (hoàn toàn không quan tâm đến cách hoạt động của việc trộn sơn ở đây). Bây giờ, trong mỗi bước của siêu nhiệm vụ, hãy trộn các loại sơn để bạn có được một màu mới (ví dụ: trong bước 1, bạn sử dụng sơn với$700nm$, ở bước 2, bạn sử dụng sơn với $700.\bar01nm$, Vân vân.). Bây giờ bạn có vô số màu sơn không đếm được. Tuy nhiên, tôi cảm thấy như thể mặt phẳng chứa đầy vô số điểm 2 chiều$\mathbb{R}^2$, trong khi tôi chỉ có sơn với $\mathbb{R}>0$nên tôi vẫn chưa có đủ màu.
Chắc chắn điều này là đơn giản
Bạn có vô số màu sắc nên bạn chỉ sử dụng mỗi màu một lần. Bạn chưa xác định liệu các 'điểm' có phải là điểm đúng hay không. Nếu chúng là các điểm thực trên một mặt phẳng thì chúng không có thứ nguyên nên bạn không thể vẽ chúng. Không sử dụng được dù chỉ 1 phân tử sơn.
hoặc là
Nếu bạn có thể quản lý tác vụ này, trình hướng dẫn sẽ cho phép bạn tự do - thất bại và bạn bị mắc kẹt mãi mãi.
Cho rằng nhiệm vụ sẽ diễn ra mãi mãi, bạn bị mắc kẹt mãi mãi khi thực hiện nhiệm vụ, không có trình hướng dẫn nào sẽ không giải phóng bạn.
hoặc là
Bạn vẽ những đường thẳng đơn màu song song dài vô tận. Sẽ không có tam giác nào có ba đỉnh cùng màu.