Tích phân của $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Để cho $1 \leq p < \infty$ và để $d$là một số nguyên dương. Tôi muốn thể hiện điều đó$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Bởi vì $L^p$chuẩn, tích phân không đối xứng xuyên tâm. Nếu tôi chuyển đổi sang tọa độ cầu, tôi kết thúc với$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ Ở đâu $\sigma$là số đo hình cầu. Tôi nên tiếp tục như thế nào từ đây? Hoặc cách khác tôi nên tính tích phân này như thế nào? Tôi sẽ đánh giá cao các tính toán chi tiết!

Answer 1

Một cách tiếp cận đơn giản là thấy rằng, đối với bất kỳ $f$ sao cho tích phân trên LHS dưới đây tồn tại, chúng ta có $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ Ở đâu $K_{p,d}$ không phụ thuộc vào $f$ (nói, chúng tôi thay thế $x=tg(y)$ Ở đâu $x=g(y)$ là một tham số hóa của $\|x\|_p=1$; Jacobian thay thế như vậy có dạng$t^{d-1}h(y)$ với một số $h$ không phụ thuộc vào $t$).

Để tìm $K_{p,d}$, Chúng tôi chọn $f$để dễ dàng tính toán cả hai mặt của \ eqref {maineq}. Lấy$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ vậy nên $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Để có câu trả lời, vẫn phải đặt$f(t)=e^{-t}$ trong \ eqref {maineq}.