Tìm hai giải pháp chuỗi độc lập

Question

Tôi đang cố gắng tìm hai nghiệm chuỗi độc lập, được khai triển về x = 0, thỏa mãn:

$$ g''+2xg'+4g=0 $$

cho đến nay tôi đã nhận được phương trình chỉ số và tìm thấy $r=0$ và $r=1$. Sau đó, tôi thay thế các dẫn xuất bằng ký hiệu sigma tương ứng và nhận thấy$a_n=\frac{-2}{n+r-1}$.

Bây giờ nếu $r=0$ sau đó $a_n=\frac{-2}{n-1}$.

Và nếu $r=1$ sau đó $a_n=\frac{-2}{n}$.

Tôi đã cố gắng từ đây để thu thập các hệ số và tìm chuỗi công suất tương ứng nhưng tôi không hiểu làm thế nào có 2 giải pháp chuỗi độc lập.

Ngoài ra, về vấn đề, nó đưa ra giải pháp chung mà tôi đang cố gắng tiếp cận, đó là:

$$g(x)=Axe^{-x^2}+B\Sigma^{\infty}_{n=0}\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}x^{2n}$$ với A và B hằng số tùy ý.

Bất kỳ đề xuất?

Cảm ơn trước!

Answer 1

Nếu bạn cắm $\sum_{n=0}^\infty x^n$ trong phương trình của bạn, chúng tôi nhận được $$ \sum_{n=2} a_n n (n-1)x^{n-2}+2\sum_{n=1}^\infty a_n n x^n +\sum_{n=0} 4 a_n x^n=0. $$ Phía bên trái có thể được viết thành một chuỗi duy nhất $$ \sum_{n=0}^\infty \underbrace{[a_{n+2} (n+2)(n+1)+a_n(2n+4)}_{=:b_n} x^n=0. $$ Do đó chúng ta cần tất cả các hệ số $b_n =0$ và điều này cung cấp một quan hệ lặp lại $f(a_n)=a_{n+2}$. Nếu chúng ta chọn$a_1$ chúng tôi tìm thấy tất cả các thuật ngữ kỳ lạ ($a_{2k+1}$) và nếu chúng tôi chọn $a_2$ chúng tôi xác định tất cả các điều khoản chẵn $a_{2k}$.

Bạn có thể xem ở đây để hiểu tại sao các giải pháp này độc lập.

Nếu bạn Taylor mở rộng giải pháp chung được đưa ra bởi văn bản, bạn sẽ nhận được 2 giải pháp của mình (quan sát rằng $xe^{-x^2}$ chỉ có số hạng lẻ trong phần mở rộng và số hạng thứ hai chỉ có số hạng lẻ, do đó $A,B$ tương ứng với bán lại của $a_1,a_0$ tương ứng).