Tối đa là $(\sin{x} + \sqrt3)(\cos{x}+1)$

Question

Vấn đề là

Tối đa là $(\sin{x} + \sqrt3) (\cos{x}+1)$

Tôi đã cố gắng thiết lập $\sin(t) = y$, $\cos(t) = x$, do đó vấn đề hóa ra là tìm

Max $(y + \sqrt3)(x + 1)$

st $x^2 + y^2 =1 $

Tôi đã thử hệ số nhân Lagrange, nhưng nó hóa ra là một phương trình bậc hai.

Tôi cũng đã thử một phép biến đổi tuyến tính để vấn đề trở thành

Max $x^2 - y^2$

st $(x + \frac{\sqrt3+1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt3-1}{2})^2 = 1$

Từ $x^2-y^2$ là bề mặt yên ngựa, câu trả lời vẫn là không tầm thường.

Bạn có thể giúp tôi tìm ra lối thoát không?

Answer 1

Chúng ta có thể tiến hành bằng cách xác định nửa góc tiếp tuyến để thu được

$$f(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2} + \sqrt3\right) \left(\frac{1-t^2}{1+t^2} + 1\right) \implies f'(t)=-4\frac{\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1}{(1+t^2)^3}$$

và kể từ khi

$$g(t)=\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1 \implies g'(t)=3\sqrt 3t^2+6t+\sqrt 3=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2\ge 0$$

chúng tôi có cái đó $f'(t)$ chỉ có một gốc tương ứng với giá trị tối đa cho $f(t)$.

Bây giờ kể từ

$$g'(t)=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2 \implies g(t)=\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3+c$$

mở rộng chúng tôi tìm thấy $c=-\frac43$ do đó gốc được đưa ra bởi

$$\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3=\frac43 \implies t\approx 0.339$$