Tổng không gian vectơ

Question

Câu hỏi tôi đang giải quyết như sau:

Giả sử $U_1$ và $U_2$ là không gian con của không gian vectơ $V$. Cho thấy$U_1+U_2$ bằng giao của tất cả các không gian con của $V$ bao gồm $U_1 \cup U_2$.

Nỗ lực của tôi:

Để cho $K = \bigcap_{i = 0}V_i$ là giao điểm của tất cả các không gian con sao cho $U_1$ $\cup$ $U_2$ $\subseteq V_i$ cho tất cả $i$. Để cho$U = U_1+U_2 = \{x + y \in V : x \in U_1, y \in U_2\}$. Chúng ta phải chứng tỏ rằng$U \subseteq K$ và $K \subseteq U$.

Vì sự giao nhau của bất kỳ không gian con nào dẫn đến một không gian con khác, chúng ta biết K là một không gian con. Vì không gian con bị đóng lại nên chúng tôi có điều đó cho$x,y$ trong $K$, $x+y\in K$. Đẻ$x$ và $y$ được các yếu tố từ $U_1 \cup U_2$, rõ ràng là $U \subseteq K$.

Khoảng của một tập hợp $S$ là giao của tất cả các không gian con của không gian vectơ $V$ chứa $S$. Vì thế$K = \operatorname{span}(U_1 \cup U_2)$. Vì vậy, các yếu tố từ$K$ có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính từ $U_1 \cup U_2$. Từ$U$ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính từ $U_1 \cup U_2$ nó theo sau đó $K \subseteq U$.

Điều này cảm thấy hơi quá dễ dàng nên tôi đang nghĩ rằng mình đã bỏ lỡ một điều gì đó quan trọng. Bất kỳ sự giúp đỡ nào ở đây sẽ rất tốt.

Answer 1

Nó thực sự là đơn giản mà! Giả sử bạn có bất kỳ không gian con nào$W$ của $V$ như vậy mà $U_1\cup U_2\subseteq W$. Sau đó, chúng tôi có, cho bất kỳ$u_1\in U_1, u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in W$ bởi vì $W$là một không gian con. Vì vậy,$U_1+U_2\subseteq W$. Như$W$ là tùy ý, chúng tôi biết rằng sự bao gồm này áp dụng cho tất cả các không gian con như vậy, và do đó, sự bao gồm của chúng được áp dụng cho $U_1+U_2\subseteq \bigcap_{U_1\cup U_2\subseteq W}W$. Mặt khác,$U_1+U_2$ chính nó là một không gian con của $V$ chứa đựng $U_1\cup U_2$ điều này mang lại sự bao hàm ngược lại.