Trao đổi chuỗi và tích phân

Question

Tôi biết rằng tôi có thể sử dụng Lebesgue hoặc định lý hội tụ đơn điệu để trao đổi giới hạn của các tổng riêng phần và tích phân Lebesgue, cho một chuỗi lũy thừa hoặc một chuỗi hàm tổng quát. Nhưng nhìn chung đưa ra một loạt$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ hội tụ và xác định $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ với $f_n(u)$tích hợp được, tôi đã tự hỏi khi nào tôi có thể trao đổi tích hợp và chuỗi. Đặc biệt trong bối cảnh tổng kết Borel, được đưa ra$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$, Tôi đã tự hỏi làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó nếu $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$hội tụ, sau đó tôi có thể trao đổi tích phân và chuỗi. (Tôi biết điều đó cho loạt quyền lực$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ công việc có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bán kính hội tụ và tôi luôn có thể tìm ra điểm trội)

Answer 1

Theo gợi ý của Gerald Edgar, chúng ta có thể sử dụng định lý Fubini - Tonelli. Theo định lý Tonelli,$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Vì vậy, định lý Fubini có thể áp dụng được, tức là người ta có thể hoán đổi tích phân và chuỗi.