Trên cây Suslin bình thường

Question

Tôi đang đọc cuốn sách "Lý thuyết tập hợp" của Jech chính xác là phần nói về cây Suslin. Trong bổ đề 9.13, ông chứng minh rằng nếu tồn tại một cây Suslin thì tồn tại một cây Suslin bình thường.

Nếu $T$ là một cây cao bình thường $\alpha$, đặc biệt, nó đáp ứng

Bất cứ gì $x\in T$ và $height(x)<\beta<\alpha$, có tồn tại $y>x$ như vậy mà $height(y)=\beta$.

Nhưng nó có vẻ kỳ lạ đối với tôi, bởi vì tính chất này dường như ngụ ý, bằng cách quy nạp vô hạn, sự tồn tại của một chuỗi có cùng chiều cao $T$. Nhưng nếu điều này là sự thật, thì nó không phải là cây Suslin bình thường, vì mọi cây Suslin đều có chiều cao$\omega_1$và không có chuỗi không đếm được. Tôi còn thiếu gì ở đây?

Answer 1

Bạn đang bỏ lỡ các giai đoạn giới hạn. Chắc chắn, nếu một nhánh có độ dài kế thừa (nghĩa là có một phần tử tối đa), bạn có thể tiếp tục mở rộng nó theo từng cấp độ cho$\omega$nhiều bước hơn, nhưng làm thế nào để bạn biết rằng nó vẫn tiếp tục sau đó? Đối với mọi nút trên nhánh, có một số nút ở trên nó ở mức giới hạn tiếp theo, nhưng điều đó không có nghĩa là bạn có thể nói rằng có một nút ở trên toàn bộ nhánh.

Để có một ví dụ cụ thể hơn về cây có chiều cao $\omega_1$ và thuộc tính này, nhưng không có nhánh độ dài $\omega_1$, hãy xem xét cây hàm từ thứ tự đếm được đến $\omega$ là một đối một và có đồng phạm vi vô hạn.