Trình bày nhóm con

Question

Để cho $G$ là nhóm có bài thuyết trình $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Tôi muốn có một bản trình bày cho nhóm con $H$ được tạo ra bởi các yếu tố $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

Có đủ để phỏng đoán bài thuyết trình không $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ và lập luận rằng các mối quan hệ trong việc trình bày $G$ ngụ ý rõ ràng những người được phỏng đoán cho $H$ và rằng các mối quan hệ của $H$ ngụ ý các mối quan hệ trong việc trình bày $G$.

Answer 1

Không, điều này là chưa đủ, vì có thể có quan hệ "ẩn". Trong ví dụ của bạn,$H$ thực sự có bản trình bày đã cho và có lẽ có thể thể hiện điều này "bằng tay" bằng cách sử dụng các thuộc tính của nhóm $G$, nhưng nó không phải là sự thật "rõ ràng".

Ngoài ra, bạn có thể sử dụng phương pháp Reidemeister-Schreier. Đây là một quá trình để tìm bản trình bày của một nhóm con nhất định của một nhóm và nó hoạt động tốt ở đây vì$H$ có chỉ mục hữu hạn trong $G$. Có hai cách tiếp cận phương pháp: phiên bản tổ hợp / đại số cổ điển như được đề cập trong Phần 2.3 của cuốn sách Lý thuyết nhóm tổ hợp của Magnus, Karrass và Solitar, hoặc trong Phần II.4 của cuốn sách cùng tên của Lyndon và Schupp, và phiên bản tôpô sử dụng các lớp phủ của các phức hợp trình bày (xem tại đây ). Cá nhân tôi ủng hộ phiên bản tôpô vì tôi xem nó như một "hình dung" của phiên bản đại số.

Quá trình này cũng có thể được thực hiện trên máy tính (xem tại đây ), mặc dù máy tính sẽ muốn$p,q,r$ được sửa chữa.