$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

Hãy xem xét đoạn sau từ cuốn sách của Murphy "$C^*$-đại số và lý thuyết toán tử ":

Làm thế nào chúng ta có thể mở rộng $w_0$ đến một bản đồ $w_1: H \to H$? Tôi đoán trước tiên chúng ta mở rộng$w_0$ đóng cửa $\overline{v^*(H)}$ và sau đó xác định nó là $0$trên phần bù trực giao của nó. Có hiệu quả không?

Ngoài ra, tại sao chúng tôi có $u = vw_1$? Điều này có phụ thuộc vào phần mở rộng rõ ràng của$w_0$ hay nó đúng với tất cả các phần mở rộng bị ràng buộc của $w_0$?

Answer 1

Có, bạn luôn có thể làm điều đó. Nếu bạn chưa bao giờ làm điều đó, bạn cần chứng minh rằng bất kỳ toán tử tuyến tính bị giới hạn nào cũng có thể được mở rộng bằng tính liên tục cho đến khi đóng miền của nó. Và điều đó nếu bạn phân hủy$H=H_1\oplus H_1^\perp$ và $S,T$ được giới hạn toán tử trên $H_1$ và $H_1^\perp$ tương ứng, sau đó $S\oplus T$ Được định nghĩa bởi $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ là một toán tử bị ràng buộc với $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.