Vấn đề trong biểu diễn của $D_4$

Question

Vấn đề

Để cho $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ và $V=\mathbb{C}^2$ với các cơ sở $\{e_1,e_2\}$. Chúng tôi thấy$V$ như một $\mathbb{C}G-$mô-đun với hành động $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ và $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. Tính toán ký tự $\chi_V$ và cho thấy rằng $\mathbb{C}G-$mô-đun $V$ là không thể thay đổi được.

Tôi thấy rằng $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ và điều đó $[\chi_V,\chi_V]=1$ vì thế $\mathbb{C}G-$mô-đun $V$ là không thể thay đổi được.

1. Kiểm tra nếu $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ có một $\mathbb{C}G-$submodule isomorphic to $\mathbb{C}G$.
2. Cho mọi $n\ge1$ chúng ta có $\mathbb{C}G-$mô-đun $V_n=V^{\otimes n}$. Tìm tất cả$n$ cái mà tồn tại $w\in V_n$ st $w\not=0$ và $gw=w,\ \forall g\in G$.

tôi phải tìm $n$ st $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. tôi biết điều đó$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. Vì vậy, nó phải được$n\in2\mathbb{Z}$.

(a) Cách tiếp cận của tôi có trong $1,3$ chính xác?

(b) Bất kỳ ý tưởng nào cho $2$?

(c) Có phương pháp chung nào để xem liệu một mô-đun $A$ chứa một hình ảnh đẳng hình của một mô-đun $B$sử dụng ký tự? Cụ thể là làm cách nào để tôi có thể xác định xem$\mathbb{C}G-$ mô-đun $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ chứa một $\mathbb{C}G-$ submodule isomorphic to $V$?

Cảm ơn trước!

Answer 1

1. Hiển thị $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ Ổn.

2. Nói chung, $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. Đây chỉ là vì$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$nên tích vô hướng chỉ cần chọn $\chi_V(1) = \dim V$. Ví dụ này cho thấy rằng thực sự$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ không cần phải nói với bạn nhiều điều về việc có hay không $V$ chứa đựng $W$. Nó cũng cho thấy rằng$V$ chứa đựng $\mathbb{C}G$ nếu và chỉ khi đối với tất cả các điểm không phù hợp $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. Điều kiện thứ hai này tất nhiên rất dễ kiểm tra nếu bạn biết tất cả$\chi_W$rõ ràng, và đối với một nhóm nhỏ như vậy, bạn có thể giải quyết chúng bằng tay.

3. Tin học $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ tuyệt.

Trong trường hợp cụ thể này, thật dễ dàng nhận thấy $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, vì thế $V \otimes V$ không chứa cái không thể học được $V$, vì vậy nó không thể chứa $\mathbb{C}G$ và bạn không phải kiểm tra bất kỳ sự bất bình đẳng nào khác hoặc tìm kiếm các ký tự bất khả quy khác.