$|x|^{3/2}$ lồi mạnh?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ Nếu bạn lấy đạo hàm thứ 2, bạn nhận được $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Nếu bạn đi theo yêu cầu rằng $f$ rất lồi khi $$f''(x) \geq m \gt 0$$ Sau đó $f$ là lồi mạnh.

Tuy nhiên, nếu bạn đi theo yêu cầu $f$ rất lồi khi

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ là lồi, $∀x$ và một số $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ rõ ràng là không lồi vì $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ đủ lớn $x$.

Xin hãy cho tôi biết lỗi của tôi ở đâu!

Cảm ơn

Answer 1

Đúng là $f''>0$ nơi nó được định nghĩa và trên thực tế $f$ vẫn lồi trên một khoảng chứa $0$ mặc dù $f''(0)$không thực sự được xác định. (Theo một nghĩa hơi lỏng lẻo, bạn có thể nói$f''(0)=+\infty$.)

Tuy nhiên, yêu cầu đầu tiên mà bạn đề cập thực sự không phù hợp vì không có số duy nhất$m>0$ như vậy mà $f'' \geq m$ ở khắp mọi nơi, kể từ $f''$đi về 0 ở vô cùng. Như vậy$f$ không phải là lồi mạnh, nhưng nó vẫn lồi hoàn toàn.