Xếp hạng Cantor-Bendixson thuộc loại biệt lập

Question

Đây là bổ đề 2.2.3 (i) trong cuốn sách Lý thuyết ổn định cơ bản của S.Buechler . Để cho$T$là một lý thuyết hoàn chỉnh. Chúng tôi xác định thứ hạng Cantor-Bendixson của một công thức$\phi$ trong $n$ các biến như sau.

1. $CB(\phi)=-1$ nếu $\phi$ không nhất quán;
2. Để cho $\alpha$ là một thứ tự, và $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ nếu $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ là hư vô và hữu hạn.

Để cho $p$ hoàn toàn bị cô lập $n$-kiểu. Sau đó, chúng tôi biết rằng$p$ được cô lập bởi công thức $\phi'$từ định nghĩa của sự cô lập. Câu hỏi của tôi là

Tại sao $CB(\phi')=0$ ?

Có vẻ như chúng ta phải chỉ ra rằng chỉ có rất nhiều loại $p \in S_n(\emptyset)$ cái nào $\phi' \in p$ và $\neg \psi \in p$ cho tất cả $\psi \in \Psi_0$. Nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều này. Mọi gợi ý và đề xuất đều được hoan nghênh. Cảm ơn bạn!

Answer 1

Đầu tiên hãy chứng minh điều này trực tiếp từ các định nghĩa bạn đề cập. Các công thức trong$\Psi_0$chính xác là các công thức không nhất quán. Vì vậy, đối với mọi loại$q$ và bất kỳ $\psi \in \Psi_0$ chúng ta có $\neg \psi \in q$. Đó có nghĩa là$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ nơi bình đẳng cuối cùng theo sau bởi vì $\phi'$ cô lập $p$. Vì vậy, thực sự$CB(\phi') = 0$.

---

Hạng Cantor-Bendixson cũng thường được định nghĩa theo cách tôpô như sau. Đối với tài liệu tham khảo, hãy xem ví dụ: Khóa học về lý thuyết mô hình của Lều và Ziegler, bài tập 6.2.6 hoặc Lý thuyết mô hình: Giới thiệu bằng điểm đánh dấu, bài tập 6.6.19g (mặc dù có lỗi đánh máy ở đó, điều này phải rõ ràng từ định nghĩa bên dưới) .

Đối với một không gian tôpô $X$ Chúng tôi xác định $X^{(\alpha)}$ cho thứ tự $\alpha$ như sau:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ giới hạn $\lambda$.

Chúng tôi gọi $X^{(\alpha)}$ các $\alpha$- dẫn xuất Cantor-Bendixson thứ của$X$. Cho một điểm$x \in X$các bậc Cantor-Bendixson $CB(x)$ sau đó là cực đại $\alpha$ như vậy mà $x \in X^{(\alpha)}$.

Áp dụng điều này cho $X = S_n(\emptyset)$ chúng ta có thể hiểu Cantor-Bendixson cho một công thức $\phi$ bằng cách thiết lập $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Sẽ là một bài tập tốt nếu chỉ ra rằng những định nghĩa này là tương đương nhau (mặc dù đó sẽ là một bài tập khó hơn những gì bạn đã hỏi). Với những định nghĩa này, nó cũng sẽ dễ dàng làm theo$CB(\phi') = 0$ nếu $\phi'$ cô lập một loại.