2 câu hỏi về chiếc nhẫn $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Tôi không thể giải quyết câu hỏi cụ thể này trong Lý thuyết Vòng. Điều này đã được hỏi trong một kỳ thi thạc sĩ mà tôi đang chuẩn bị.
Để cho $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .
(a) Chứng minh rằng $A$ là tích trực tiếp của hai miền tích phân.
(b) Là chiếc nhẫn $A$ isomorphic to $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
Tôi có thể biết bằng $X^{3}-1$ mà bây giờ các yếu tố sẽ là $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ thuộc về $\mathbb{Q}$. Nhưng tôi không có sản phẩm trực tiếp đầu mối nào về miền tích phân nào sẽ tạo nên chiếc nhẫn này.
Ngoài ra, đối với thứ hai, tôi đang gặp vấn đề trong việc xác định một bản đồ là $X^3$sẽ hoạt động như -1 trong vòng thứ 2. Tôi không nghĩ bản đồ như thế$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ sẽ hoạt động như bản đồ này không $1-1$.
Vì vậy, bất cứ ai có thể vui lòng cho biết làm thế nào tôi nên tiếp cận cả hai vấn đề này.
Trả lời
GỢI Ý :
(a) Sử dụng Định lý Phần dư Trung Quốc , định lý cho một vòng$A$ và lý tưởng $\mathfrak a,\mathfrak b$ của $A$ như vậy mà $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Hơn nữa, một vòng thương số$\mathbb Q[X]/(f(X))$ là một miền tích hợp iff $(f(X))$ là một iff lý tưởng hàng đầu $f(X)$ là không thể thay đổi được (vì $\mathbb Q[X]$ là một PID).
(b) Tôi yêu cầu $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$là một chất đẳng cấu. Kiểm tra tất cả các tiên đề giữ.
(a) Như Kenta S đã nêu, kể từ $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ và $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, chúng ta có $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ và vì thế $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$theo Định lý Phần dư Trung Quốc. Thông suốt,$x^2-x+1$ và $x-1$là không thể thay đổi được. Vì thế,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ và $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ là các miền.
(b) Rõ ràng, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Cũng thế,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ bởi $x\to -x$. Vì thế,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.