Bất biến lũy thừa cơ sở

Aug 19 2020

Một tổng lũy thừa được gọi là bất biến số mũ cơ số nếu giá trị của nó không thay đổi nếu mỗi cơ số và số mũ được chuyển đổi. Ví dụ đơn giản nhất là$2^4$, tất nhiên là bằng $4^2$. Một bất biến số mũ cơ số khác là

$$2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4}=5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5}$$

Có rất nhiều ví dụ khác với $5$summands đã biết. (https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0608.html.)

Chúng tôi quan tâm đến các bất biến số mũ cơ số trong đó tất cả các cơ số và số mũ ít nhất là số nguyên $2$, và không có sức mạnh nào xuất hiện nhiều hơn một lần, ngay cả sau khi các cơ số và số mũ đã được chuyển đổi. Có tổng số$2$, $3$, hoặc là $4$ lũy thừa là bất biến số mũ cơ số?

Tôi cũng quan tâm đến một biểu thức tổng lũy thừa liên quan đến một biến vẫn đúng nếu cơ số và số mũ được chuyển đổi, dẫn đến vô số ví dụ về độ dài nhất định. Dean Hickerson nhận thấy biểu thức này liên quan đến tổng$20$ quyền hạn hoạt động:

$$ 2^{2n} + 2^{2n+8}+ 2^{2n+16} + 2^{2n+32} + 2^{2n+34} + 4^{n+1} + 4^{n+2} + 4^{n+10} + 4^{n+14} + 4^{n+18} + n^{4} + (n+4)^{4} + (n+8)^{4} + (n+16)^{4} + (n+17)^{4} + (2n+2)^{2} + (2n+4)^{2} + (2n+20)^{2} + (2n+28)^{2} + (2n+36)^{2} $$

Có một biểu thức như vậy bao gồm ít hơn $20$ quyền hạn?

Trả lời

3 Vepir Sep 07 2020 at 00:36

Đây là một phần câu trả lời :

Tôi đề xuất một định nghĩa và đưa ra các phỏng đoán dựa trên các tính toán mở rộng.

Tôi muốn đề xuất định nghĩa sau:

$n\in\mathbb N$là Tổng bất biến cơ số mũ = Số bất biến mạnh mẽ (SPIN) , nếu nó là tổng bất biến lũy thừa của lũy thừa hoàn hảo duy nhất không bất biến:

$$ n=\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{b_{i}}=\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{a_{i}}, \quad a_{i}>1, b_{i}>1, \quad a_{i}^{b_{i}} \neq b_{i}^{a_{i}}, \quad\left(i \neq j \Longrightarrow\left\{a_{i}, b_{i}\right\} \neq\left\{a_{j}, b_{j}\right\}\right) $$

Ví dụ: SPIN nhỏ nhất có $k=6$ số hạng trong tổng và bằng:

$$\begin{align} 432 &= 3^{2}+5^{2}+2^{6}+3^{4}+5^{3}+2^{7} \\&= 2^{3}+2^{5}+6^{2}+4^{3}+3^{5}+7^{2}. \end{align}$$

Một số con số $n$tương ứng với nhiều hơn một tổng. Ví dụ:

$$ \begin{align} 1554&=3^{2}+7^{2}+6^{3}+2^{8}+4^{5} \\ &=2^{3}+2^{7}+3^{6}+8^{2}+5^{4}, \\ 1554&=3^{2}+5^{2}+2^{6}+10^{2}+2^{7}+3^{5}+2^{8}+3^{6}\\ &=2^{3}+2^{5}+6^{2}+2^{10}+7^{2}+5^{3}+8^{2}+6^{3}. \end{align} $$

$1554$ bằng một $5$-tổng hợp và thành một $8$-tổng hợp kỳ.

Lên đến $n\le 10^4$, có $887$ SPIN (đếm số trùng lặp), https://pastebin.com/5ArkFif4.

Nhưng, chúng tôi quan tâm đến các ví dụ trong đó $k$ - số lượng các điều khoản (summands), là nhỏ.

$(k\le 5)$ thuật ngữ SPIN

Lên đến $n\le 10^{20}$, chúng là duy nhất $14$ SPIN với $5$ hoặc ít điều khoản hơn và tất cả chúng đều có $5$ điều kiện:

$$\begin{array}{} 1422 &= 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5} &= 2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4} \\ 1464 &= 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 5^{4} + 3^{6} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 4^{5} + 6^{3} \\ 1554 &= 2^{3} + 8^{2} + 2^{7} + 5^{4} + 3^{6} &= 3^{2} + 2^{8} + 7^{2} + 4^{5} + 6^{3} \\ 2612 &= 5^{2} + 6^{2} + 11^{2} + 3^{5} + 3^{7} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{11} + 5^{3} + 7^{3} \\ 3127 &= 2^{3} + 6^{3} + 7^{3} + 2^{9} + 2^{11} &= 3^{2} + 3^{6} + 3^{7} + 9^{2} + 11^{2} \\ 4481 &= 6^{2} + 10^{2} + 11^{2} + 2^{7} + 4^{6} &= 2^{6} + 2^{10} + 2^{11} + 7^{2} + 6^{4} \\ 5644 &= 9^{2} + 10^{2} + 7^{3} + 4^{5} + 4^{6} &= 2^{9} + 2^{10} + 3^{7} + 5^{4} + 6^{4} \\ 16122 &= 2^{3} + 4^{3} + 13^{2} + 2^{8} + 5^{6} &= 3^{2} + 3^{4} + 2^{13} + 8^{2} + 6^{5} \\ 68521 &= 8^{2} + 5^{4} + 10^{3} + 6^{4} + 4^{8} &= 2^{8} + 4^{5} + 3^{10} + 4^{6} + 8^{4} \\ 77129 &= 12^{2} + 16^{2} + 6^{4} + 4^{7} + 3^{10} &= 2^{12} + 2^{16} + 4^{6} + 7^{4} + 10^{3} \\ 82583 &= 5^{2} + 3^{4} + 16^{2} + 2^{12} + 5^{7} &= 2^{5} + 4^{3} + 2^{16} + 12^{2} + 7^{5} \\ 1065585 &= 9^{2} + 12^{2} + 20^{2} + 4^{7} + 4^{10} &= 2^{9} + 2^{12} + 2^{20} + 7^{4} + 10^{4} \\ 4227140 &= 13^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 5^{6} + 2^{22} &= 2^{13} + 4^{7} + 4^{11} + 6^{5} + 22^{2} \\ 6164560 &= 18^{2} + 7^{5} + 5^{9} + 2^{21} + 8^{7} &= 2^{18} + 5^{7} + 9^{5} + 21^{2} + 7^{8} \end{array}$$

trong đó cái lớn nhất nhỏ hơn $10^7 \ll 10^{20}$.

Phỏng đoán: Không có SPIN nào có ít hơn$5$ điều kiện.

Phỏng đoán: Có chính xác$14$ SPIN với chính xác $5$ điều kiện.

Điều này có lẽ khó chứng minh.

Ví dụ: một vấn đề tương tự với $k=2$ được liên kết bởi https://math.stackexchange.com/q/3795656/318073#comment7868924_3795656; vẫn đang mở:https://math.stackexchange.com/q/3286093/318073. Đó là,$k=2$ tương đương với sự cố được liên kết nhưng đối với $a^b-b^a$ thay thế:

$$ a^b+c^d=b^a+d^c \iff a^b-b^a = d^c - c^d. $$

$(k\ge 6)$ thuật ngữ SPIN

Phỏng đoán: Đối với bất kỳ$k\ge 6$, có vô số $k$-mỹ thuật thay đổi.

Đó là, cái đã biết $20$- gia đình kỳ:

$$ n(t) = 2^{2t} + 2^{2t+8}+ 2^{2t+16} + 2^{2t+32} + 2^{2t+34} + 4^{t+1} + 4^{t+2} + 4^{t+10} + 4^{t+14} + 4^{t+18} + t^{4} + (t+4)^{4} + (t+8)^{4} + (t+16)^{4} + (t+17)^{4} + (2t+2)^{2} + (2t+4)^{2} + (2t+20)^{2} + (2t+28)^{2} + (2t+36)^{2} $$

đưa ra một $20$-term SPIN cho mọi $t\gt 4$, nhưng tôi khẳng định rằng một $6$-term family $n(t_1,t_2,\dots)$ tồn tại.

Nhưng, điều này có lẽ cũng khó thể hiện.

Trong nỗ lực tìm kiếm một gia đình như vậy, tôi đã tìm thấy một "loại đặc biệt" $k=6$ các ví dụ.

$(k = 6)$ thuật ngữ SPIN, loại đặc biệt

Lên đến $n\le 10^{10}$, có $101$ SPIN với $6$ điều kiện; https://htmlpreview.github.io/?https://github.com/virv/SPIN/blob/master/SPINs.html.

Thực sự có thể tìm thấy các ví dụ rất lớn cho $k=6$. Ví dụ,

$$ n^* = 2^5 + 11^2 + 2^{28} + 52^2 + 8192^4 + 2^{16384} = 5^2 + 2^{11} + 28^2 + 2^{52} + 4^{8192} + 16384^2 $$

có $4933$ chữ số thập phân (lớn hơn $n^*\gt 10^{4932}$).

Điều này có thể được tìm thấy bằng cách tìm kiếm một "loại đặc biệt" $6$-mỹ thuật số hàng tháng:

$$ n^{*}=\sum_{i=1}^4a_i^{b_i} + x^4 + 2^{2x} =\sum_{i=1}^4b_i^{a_i} + 4^x + (2x)^2 $$

rất nhiều bởi vì $|(4^x-x^4) - ((2x)^2-2^{2x})|$là "khá nhỏ" . Đó là,

khi tôi đang tìm kiếm một $k=2$ ví dụ, tôi đang cố gắng giảm thiểu "lỗi":

$$|(a_1^{b_1}-b_1^{a_1})-(a_2^{b_2}-b_2^{a_2})|$$

cho một kỳ hạn cố định đầu tiên $i=1$ và tìm số hạng thứ hai nhỏ hơn gần nhất $i=2$.

Trong biểu đồ lôgarit của "lỗi" cho đầu tiên $1000$ điều kiện $(a_i^{b_i}-b_i^{a_i})$ chúng ta tìm thấy:

cái đó $\{a_1,b_1\}=\{4,x\}$ và $\{a_2,b_2\}=\{2x,2\}$ có "lỗi" s nhỏ nhất. Đó là, quan sát cung của các điểm ("lỗi") gần trục x nhất, mà tôi đã tô màu xanh lục.

Những lỗi này đôi khi có thể được giảm xuống $0$ bằng cách thêm $4$ các điều khoản bổ sung, mang lại một $6$-term ví dụ về "loại đặc biệt" này $n^{*}$.

Lên đến $n^{*}\le 10^{20}$, có $41$ của "loại đặc biệt" này $6$-mỹ thuật số hàng tháng:

$$\begin{align} 3^{2} + 5^{2} + 2^{7} + 5^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{3} + 2^{5} + 7^{2} + 3^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{5} + 3^{4} + 5^{3} + 9^{2} + 5^{4} + 2^{10} &=& 5^{2} + 4^{3} + 3^{5} + 2^{9} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 3^{4} + 6^{2} + 6^{3} + 5^{4} + 2^{10} &=& 3^{2} + 4^{3} + 2^{6} + 3^{6} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 7^{3} + 8^{3} + 5^{6} + 3^{4} + 2^{6} &=& 3^{2} + 3^{7} + 3^{8} + 6^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 5^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 11^{2} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{5} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{11} + 4^{7} + 14^{2} \\ 7^{2} + 4^{6} + 2^{14} + 9^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{7} + 6^{4} + 14^{2} + 3^{9} + 4^{3} + 6^{2} \\ 6^{2} + 2^{8} + 2^{9} + 6^{4} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{6} + 8^{2} + 9^{2} + 4^{6} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{7} + 6^{5} + 13^{2} + 4^{7} + 3^{4} + 2^{6} &=& 7^{3} + 5^{6} + 2^{13} + 7^{4} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{3} + 7^{2} + 2^{8} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 3^{2} + 2^{7} + 8^{2} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 3^{2} + 5^{2} + 3^{5} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{3} + 2^{5} + 5^{3} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 8^{2} + 5^{4} + 4^{6} + 8^{3} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{8} + 4^{5} + 6^{4} + 3^{8} + 4^{8} + 16^{2} \\ 2^{6} + 9^{2} + 5^{7} + 8^{4} + 5^{4} + 2^{10} &=& 6^{2} + 2^{9} + 7^{5} + 4^{8} + 4^{5} + 10^{2} \\ 5^{3} + 8^{3} + 7^{5} + 2^{16} + 7^{4} + 2^{14} &=& 3^{5} + 3^{8} + 5^{7} + 16^{2} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{2} + 2^{11} + 2^{13} + 14^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{3} + 11^{2} + 13^{2} + 2^{14} + 4^{9} + 18^{2} \\ 9^{2} + 7^{3} + 5^{7} + 16^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{9} + 3^{7} + 7^{5} + 2^{16} + 4^{9} + 18^{2} \\ 6^{3} + 3^{7} + 2^{13} + 9^{3} + 10^{4} + 2^{20} &=& 3^{6} + 7^{3} + 13^{2} + 3^{9} + 4^{10} + 20^{2} \\ 2^{9} + 6^{4} + 3^{10} + 16^{2} + 10^{4} + 2^{20} &=& 9^{2} + 4^{6} + 10^{3} + 2^{16} + 4^{10} + 20^{2} \\ 3^{2} + 3^{4} + 8^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{3} + 4^{3} + 2^{8} + 4^{7} + 4^{11} + 22^{2} \\ 7^{2} + 2^{10} + 2^{12} + 9^{3} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{7} + 10^{2} + 12^{2} + 3^{9} + 4^{11} + 22^{2} \\ 11^{2} + 12^{2} + 13^{2} + 7^{4} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{11} + 2^{12} + 2^{13} + 4^{7} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{2} + 4^{7} + 2^{14} + 10^{3} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{5} + 7^{4} + 14^{2} + 3^{10} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{3} + 4^{7} + 9^{3} + 15^{2} + 14^{4} + 2^{28} &=& 3^{5} + 7^{4} + 3^{9} + 2^{15} + 4^{14} + 28^{2} \\ 7^{2} + 8^{3} + 2^{17} + 7^{6} + 14^{4} + 2^{28} &=& 2^{7} + 3^{8} + 17^{2} + 6^{7} + 4^{14} + 28^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 3^{8} + 10^{3} + 15^{4} + 2^{30} &=& 9^{2} + 7^{3} + 8^{3} + 3^{10} + 4^{15} + 30^{2} \\ 5^{4} + 6^{4} + 7^{4} + 15^{2} + 15^{4} + 2^{30} &=& 4^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 2^{15} + 4^{15} + 30^{2} \\ 3^{4} + 9^{2} + 8^{3} + 10^{3} + 16^{4} + 2^{32} &=& 4^{3} + 2^{9} + 3^{8} + 3^{10} + 4^{16} + 32^{2} \\ 13^{2} + 3^{9} + 6^{7} + 9^{4} + 17^{4} + 2^{34} &=& 2^{13} + 9^{3} + 7^{6} + 4^{9} + 4^{17} + 34^{2} \\ 2^{8} + 8^{3} + 15^{2} + 16^{2} + 18^{4} + 2^{36} &=& 8^{2} + 3^{8} + 2^{15} + 2^{16} + 4^{18} + 36^{2} \\ 2^{5} + 6^{2} + 2^{11} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 5^{2} + 2^{6} + 11^{2} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 4^{3} + 2^{7} + 3^{7} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 3^{4} + 7^{2} + 7^{3} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 5^{6} + 5^{7} + 16^{2} + 7^{6} + 20^{4} + 2^{40} &=& 6^{5} + 7^{5} + 2^{16} + 6^{7} + 4^{20} + 40^{2} \\ 5^{3} + 6^{4} + 7^{4} + 11^{3} + 21^{4} + 2^{42} &=& 3^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 3^{11} + 4^{21} + 42^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 15^{2} + 8^{5} + 25^{4} + 2^{50} &=& 9^{2} + 7^{3} + 2^{15} + 5^{8} + 4^{25} + 50^{2} \\ 2^{8} + 2^{13} + 4^{8} + 19^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 8^{2} + 13^{2} + 8^{4} + 2^{19} + 4^{26} + 52^{2} \\ 2^{17} + 9^{4} + 4^{24} + 48^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 17^{2} + 4^{9} + 24^{4} + 2^{48} + 4^{26} + 52^{2} \\ 17^{2} + 4^{9} + 4^{26} + 52^{2} + 24^{4} + 2^{48} &=& 2^{17} + 9^{4} + 26^{4} + 2^{52} + 4^{24} + 48^{2} \\ 5^{2} + 2^{11} + 9^{4} + 8^{5} + 28^{4} + 2^{56} &=& 2^{5} + 11^{2} + 4^{9} + 5^{8} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{7} + 10^{3} + 4^{10} + 13^{3} + 28^{4} + 2^{56} &=& 7^{2} + 3^{10} + 10^{4} + 3^{13} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{8} + 2^{11} + 13^{2} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 8^{2} + 11^{2} + 2^{13} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ 6^{2} + 2^{10} + 4^{6} + 20^{2} + 32^{4} + 2^{64} &=& 2^{6} + 10^{2} + 6^{4} + 2^{20} + 4^{32} + 64^{2} \\ 5^{3} + 2^{19} + 12^{3} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 3^{5} + 19^{2} + 3^{12} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ \end{align}$$

Dường như có vô số những ví dụ "loại đặc biệt" này.

Có vẻ như còn có vô số $6$-term SPIN (không phải là "loại đặc biệt").

Nhưng một lần nữa, điều này có lẽ khó chứng minh.

Chúng tôi cũng có thể tạo ra rất nhiều ví dụ bằng cách xem xét "vòng cung tốt thứ hai" phía trên vòng cung màu xanh lá cây, v.v. Hơn nữa, chúng tôi có thể cố gắng quan sát các lỗi nhỏ nhất để có$k\gt 2$và cố gắng mở rộng những ví dụ đó cho nhiều ví dụ hơn và các ví dụ về $k\gt 6$.