Bó bình thường và thổi lên
Hãy để chúng tôi làm việc trong không gian xạ ảnh phức tạp: xem xét một loạt các $X$ và một loại phụ $Y$. Tôi đã học được rằng, nếu chúng ta làm nổ tung$X$ với trung tâm $Y$, chúng tôi có được nhiều loại mới $\tilde{X}$, cùng với một bản đồ $\pi: \tilde{X}\to X$, là một đẳng cấu bên ngoài quỹ tích đặc biệt, đó là $Y$.
Altough Tôi không có tài liệu tham khảo chính xác, người ta nói với tôi rằng ước số đặc biệt của $Y$, đó là hình ảnh nghịch đảo $\pi^{-1}(Y)$, trùng với gói xạ ảnh của gói bình thường, nghĩa là
$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$
Ở đâu $\sim$ là hành động tiêu chuẩn của $\mathbb{C}$.
Câu hỏi:
- Một tài liệu tham khảo tốt về xây dựng này là gì? Tôi biết đó là nội dung của Định lý II.8.24 của Hình học Đại số của Hartshorne, nhưng nếu không có kiến thức về lý thuyết lược đồ (và cấu tạo proj, và các đường cắt mạch lạc) thì hơi khó, vì vậy có thể có một văn bản dễ tiếp cận hơn;
- Trong các trang 86-87 của những ghi chú này ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), chúng tôi bắt đầu với một đường cong hợp lý $\Gamma^+$ trong $X^+$ với bó bình thường $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: sau đó các tác giả làm nổ tung $\Gamma^+$và nó tuyên bố rằng ước số đặc biệt là $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ nhưng sử dụng các công thức trên sẽ được $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: tôi đang thiếu cái gì?
Trả lời
Tuyên bố của bạn thiếu giả thuyết: chúng tôi cũng cần $Y$trở nên không chú ý. Dù sao, một tài liệu tham khảo thay thế là phần 22.3 của "Biển trỗi dậy: Nền tảng của Hình học Đại số" của Vakil , thường được coi là tài liệu tham khảo dễ tiếp cận hơn Hartshorne. Vakil không đưa ra bằng chứng về tuyên bố mà bạn muốn — đó là Bài tập 22.3.D — nhưng phần dẫn đầu của bài tập có thể đưa ra một số hướng dẫn hữu ích về cách chứng minh điều đó.
Thật không may, tôi không biết tham chiếu cho tuyên bố này không sử dụng ngôn ngữ của các lược đồ, cấu trúc Proj, và ít nhất là ở một mức độ nào đó.
Để trả lời câu hỏi thứ hai của bạn, hai gói xạ ảnh là đẳng cấu, bởi vì các gói xạ ảnh không thay đổi nếu bạn kéo căng bởi một gói dòng. Đây là bài tập 17.2.G trong ghi chú của Vakil, và bổ đề II.7.9 trong Hartshorne. Một tham chiếu khác cho tuyên bố chung là Dự án ngăn xếp, thẻ 02NB . Đặc biệt, cho tất cả$c \in \mathbb{Z}$, chúng ta có $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$