Các phép đồng cấu có bảo toàn thứ tự của các nhóm con không?

Question

Tôi đọc rằng sự đồng cấu duy nhất có thể từ $\mathbb{Z}_7$ đến $\mathbb{Z}_{12}$ là một trong những ánh xạ tất cả các yếu tố của $\mathbb{Z}_7$ đến $\{0\}$. Vì nếu có sự đồng cấu khác từ$\mathbb{Z}_7$ đến $\mathbb{Z}_{12}$, nó phải có thể ánh xạ bất kỳ nhóm con không tầm thường nào của $\mathbb{Z}_7$, vào một nhóm con của $\mathbb{Z}_{12}$. Tuy nhiên, điều này có nghĩa là$\mathbb{Z}_{12}$ sẽ có một nhóm thứ tự $7$, điều đó là không thể.

Tôi đoán những gì được ngụ ý trong câu lệnh trên là các phép đồng cấu có bảo toàn thứ tự của các nhóm con ... nhưng nói chung điều này có đúng không?

Answer 1

Nói chung là không đúng. Để cho$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ được cho bởi $f(x)=2x$. Bản đô$f$ rõ ràng là một phép đồng cấu nhưng nó không bảo toàn trật tự của chính nhóm.

Tôi nghĩ rằng tuyên bố này có nghĩa là, vì chỉ các nhóm con của $\mathbb Z_7$ Chúng tôi $\{0\}$ và chính nhóm, hạt nhân của bất kỳ phép đồng cấu không tầm thường nào là $\{0\}$và vì vậy bất kỳ phép đồng hình không tầm thường nào cũng là sai lầm. Điều này có nghĩa là$\mathbb Z_7$ là đồng hình với hình ảnh của chính nó nhưng điều này không thể xảy ra vì hình ảnh của một phép đồng hình là một nhóm con của $\mathbb Z_{12}$ và nhóm này không có nhóm thứ tự $7$.