Cách tìm $\operatorname{Re}\left(1+e^{i\triangle\varphi}+e^{i2\triangle\varphi}+…+e^{i\triangle\left(N-1\right)\varphi}\right) $
Vì vậy, thực ra đây là một phép tính mà tôi đang cố gắng thực hiện trong bài tập vật lý.
tôi phải tìm $\operatorname{Re}\left(1+e^{i\triangle\varphi}+e^{i2\triangle\varphi}+...+e^{i\triangle\left(N-1\right)\varphi}\right) $ và nó phải là một cái gì đó trông như thế này:
$ \frac{\sin\left(\frac{N\cdot\triangle\varphi}{2}\right)}{\frac{N\cdot\triangle\varphi}{2}} $
Nhưng tôi không biết làm thế nào.
Đây là nỗ lực của tôi:
Lưu ý rằng chúng ta có thể viết tổng là:
$ \operatorname{Re}\left(\sum_{j=0}^{N-1}\left(e^{i\triangle\varphi}\right)^{j}\right) $
Và đó chỉ là một tổng chuỗi hình học, vì vậy: $ \operatorname{Re}\left(\frac{1-e^{iN\triangle\varphi}}{1-e^{i\triangle\varphi}}\right) $
Bây giờ tôi không chắc liệu có cách nào dễ dàng hơn để tìm phần thực hay không, vì vậy tôi chỉ viết số phức và cố gắng sử dụng thao tác đại số:
$ \frac{1-e^{iN\triangle\varphi}}{1-e^{i\triangle\varphi}}=\frac{1-\cos\left(N\triangle\varphi\right)+i\sin\left(N\triangle\varphi\right)}{1-\cos\left(\triangle\varphi\right)+i\sin\left(\triangle\varphi\right)}=\frac{\left(1-\cos\left(N\triangle\varphi\right)+i\sin\left(N\triangle\varphi\right)\right)1-\cos\left(\triangle\varphi\right)-i\sin\left(\triangle\varphi\right)}{\left(1-\cos\left(\triangle\varphi\right)+i\sin\left(\triangle\varphi\right)\right)\left(1-\cos\left(\triangle\varphi\right)-i\sin\left(\triangle\varphi\right)\right)} $
Sau khi chỉ xem xét các điều khoản thực tế từ sản phẩm, tôi đã đạt được điều này:
$ =\frac{1-\cos\left(\triangle\varphi\right)-\cos\left(N\triangle\varphi\right)+\cos\left(N\triangle\varphi\right)\cos\left(\triangle\varphi\right)+\sin\left(N\triangle\varphi\right)\sin\left(\triangle\varphi\right)}{\left(1-\cos\left(\triangle\varphi\right)\right)^{2}+\sin^{2}\left(\triangle\varphi\right)} $
Có vẻ như thực sự khác với hình thức tôi phải làm.
Tôi sẽ viết một tham chiếu đến phép tính vật lý mà tôi đang cố gắng thực hiện: Đó là một biến thể của thí nghiệm Double slit . Biến thể này là về thử nghiệm khe rộng, giả sử$ a $ là chiều rộng của khe và có $ N $ nguồn sáng, khoảng cách giữa các sóng ánh sáng cho bởi $ \frac{a}{N} $ và mỗi làn sóng được mô tả bởi $ y_{j}\left(x,t\right)=A\cos\left(kx-\omega t+j\triangle\varphi\right) $. Vì vậy, tôi muốn tổng tất cả các sóng và tìm biên độ, do đó:
$ \overline{y}\left(x,t\right)=\sum_{j=1}^{N-1}y_{j}\left(x,t\right)=A\cos\left(kx-\omega t\right)+A\cos\left(kx-\omega t+\triangle\varphi\right)+A\cos\left(kx-\omega t+2\triangle\varphi\right)+...+A\cos\left(kx-\omega t+\left(N-1\right)\triangle\varphi\right) $
Vì thế :$ A\cos\left(kx-\omega t\right)+A\cos\left(kx-\omega t+\triangle\varphi\right)+A\cos\left(kx-\omega t+2\triangle\varphi\right)+...+A\cos\left(kx-\omega t+\left(N-1\right)\triangle\varphi\right)=\operatorname{Re}\left(e^{i\left(kx-\omega t\right)}\left(1+e^{i\triangle\varphi}+e^{i2\triangle\varphi}+..e^{i\left(N-1\right)\triangle\varphi}\right)\right) $
Và vì tôi chỉ quan tâm đến biên độ, tôi muốn tính tổng mà tôi đã trình bày ở đây ngay từ đầu:
$ \operatorname{Re}\left(1+e^{i\triangle\varphi}+e^{i2\triangle\varphi}+..e^{i\left(N-1\right)\triangle\varphi}\right) $
Cảm ơn trước.
Trả lời
Nó không chính xác như bạn nghĩ. Bạn cần một công thức cho tổng$1+\mathrm e^{i\theta}+\mathrm e^{2i\theta} +\dots+\mathrm e^{(n-1)i\theta}$.
Đầu tiên chỉ cần áp dụng công thức cho tổng các số hạng của một tiến trình hình học: $$\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm e^{ki\theta}=\frac{\mathrm e^{ni\theta}-1}{\mathrm e^{i\theta}-1}=\frac{\mathrm e^{\tfrac{ni\theta}2}}{\mathrm e^{\frac{i\theta}2}}\frac{\mathrm e^{\tfrac{ni\theta}2}-\mathrm e^{-\tfrac{ni\theta}2}}{\mathrm e^{\frac{i\theta}2}-\mathrm e^{-\frac{i\theta}2}}=\frac{\mathrm e^{\tfrac{ni\theta}2}}{\mathrm e^{\frac{i\theta}2}}\frac{2i\sin\tfrac{n\theta}2}{2i\sin\frac{\theta}2}=\mathrm e^{\tfrac{(n-1)i\theta}2}\frac{\sin\tfrac{n\theta}2}{\sin\frac{\theta}2},$$ từ đó bạn dễ dàng suy ra phần thực và phần ảo.
Bạn phải thêm tất cả các phần thực lại với nhau (tôi sẽ sử dụng $t=\Delta$) $$ R=1+\cos t+\cos 2t+\cos 3t+\dots +\cos (N-1)t. $$ Bây giờ, bạn nhân với $\sin(t/2)$ và sử dụng các công thức để biến đổi sản phẩm thành tổng $$ \sin A\cos B=\frac 1{2}(\sin(A+B)+\sin(A-B)) $$ để có được $$ \sin (t/2)R=\sin t/2+\frac 1{2}(\sin 3t/2-\sin t/2)+\frac 1{2}(\sin 5t/2-\sin 3t/2)+\dots +\frac 1{2}(\sin (N-1/2)t-\sin (N-3/2)t). $$Đây là một tổng của kính thiên văn trong đó mọi thứ hủy bỏ theo từng cặp. Bạn còn lại với$$ \sin (t/2)R=\frac{\sin t/2+\sin(N-1/2)t}{2} $$ mà sau khi chuyển tổng thành tích và giải quyết, sẽ cho $$ R=\frac{\sin Nt/2\cos(N-1)t/2}{\sin t/2} $$ khác với câu trả lời của bạn bởi một yếu tố.