Cho thấy $\angle BOC=\angle AOD$.

Question

Để cho $E$ và $F$ là giao điểm của các cạnh đối diện của một tứ giác lồi $ABCD$. Hai đường chéo gặp nhau tại$P$. Để cho$O$ là chân của đường vuông góc từ $P$ đến $EF$. Cho thấy$\angle BOC=\angle AOD$.

Đây là sơ đồ:

Tôi đã xác định $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .

Bây giờ, theo một bổ đề đã biết, chúng ta có $(Y,X;P,E)=-1$ và theo bổ đề apollonius, chúng ta nhận được $PO$ chia đôi $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Tương tự, chúng tôi biết rằng $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ chia đôi $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .

Nhưng sự cân bằng góc này không dẫn tôi đến đâu. Ai đó có thể cho một số gợi ý không? Cảm ơn trước !

Answer 1

Hãy để tôi nói lại ngắn gọn vấn đề

Tam giác $\triangle ABC$ và ba cevians $AD, BE, CF$ đồng ý ở $P$được tặng. Định nghĩa$O:=EF\cap AD$ và để $H$ là hình chiếu trực giao của $O$ trên $BC$. Chứng minh rằng$\angle EHA=\angle KHF$.

Để cho $L:=AH\cap EF$ và $K:=HP\cap EF$. Đầu tiên chúng tôi sẽ chứng minh rằng$\angle LHO=\angle OHK$, và sau đó $\angle EHO=\angle OHF$. Quan sát rằng kết quả sau những quan sát này.

Đối với phần đầu tiên, hãy lưu ý rằng - vì nó nổi tiếng - $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ Từ $(J,O; K, L)$ là điều hòa và $\angle OHJ=90^\circ$, một người cho rằng, trên thực tế, $\angle LHO=\angle OHK$. Phần khác có thể được chứng minh tương tự, vì chúng tôi đã có$(J,O;F,E)=-1$.