Định nghĩa danh mục n

Question

Định nghĩa tiêu chuẩn, nếu có, của một $n$- thể loại tính đến năm 2020? Tài liệu tôi có thể khai thác khá hạn chế, nhưng tôi sẽ cố gắng hết sức để liệt kê những gì tôi đã có cho đến nay.

Trong [Lei2001], Leinster đã chứng minh 10 định nghĩa khác nhau cho một $n$-category, và không đưa ra bình luận về việc chúng có tương đương hay không. Trong [BSP2011], các tác giả đã thiết lập tiên đề và tuyên bố rằng tất cả (nhiều?) Định nghĩa của một$(\infty,n)$-category cho đến nay đáp ứng các tiên đề của họ, và do đó là tương đương (cho đến một số hành động). Tôi bao gồm các định nghĩa đó ở đây cho đầy đủ:

• (a) Không gian Segal hoàn chỉnh của Charles Rezk,
• (b) các khoảng trống Segal hoàn chỉnh gấp n lần,
• (c) André Hirschowitz và Simpson's Segal n-loại,
• (d) danh mục tương đối n của Clark Barwick và Dan Kan,
• (e) các danh mục được làm giàu trong bất kỳ danh mục mô hình nội bộ nào mà lý thuyết tương đồng cơ bản là lý thuyết đồng nhất về (∞, n) -categories,
• (f) khi n = 1, các danh mục của Boardman và Vogt,
• (g) khi n = 1, các bộ đơn giản được đánh dấu của Lurie, và
• (h) khi n = 2, các tập đơn giản được chia tỷ lệ của Lurie,

Tuy nhiên, tất cả các trường hợp trong [Lei2001] dường như không được đề cập, và thậm chí còn nhiều hơn nữa ở đây . Sự khác biệt quan trọng giữa việc xác định một$n$-category and an $(\infty,n)$-thể loại?

Câu hỏi

Tóm lại, có rất nhiều định nghĩa cho các danh mục cao hơn .. vậy chúng ta nên sử dụng cái nào? Có danh sách tất cả các định nghĩa được đưa ra và một cuộc thảo luận về định nghĩa nào tương đương với định nghĩa nào theo nghĩa nào không? Cũng có các cuộc thảo luận về định nghĩa nào thỏa mãn ba giả thuyết

1. giả thuyết ổn định
2. giả thuyết rối
3. giả thuyết cobordism

công nhận trong [BD1995]?

Tài liệu tham khảo

• [Lei2001]: Khảo sát về các định nghĩa của n-Category- [Tom Leinster] - [arXiv: math - 0107188]
• [BSP2011]: Về tính thống nhất của Lý thuyết đồng tính về các thể loại cao hơn- [Clark Barwick và Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
• [BD1995]: Đại số chiều cao hơn và lý thuyết trường lượng tử tôpô- [John C. Baez và James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]

Có liên quan

• Dịch các sự phát triển qua các nền tảng khác nhau

Answer 1

Trước hết, có sự khác biệt quan trọng giữa các khái niệm về $n$-thể loại, yếu $n$-category, và $(\infty,n)$-thể loại. Khái niệm đơn giản nhất là về một$n$-category, và không có nghi ngờ gì về định nghĩa ở đó : nghiêm ngặt$0$-category là một tập hợp và bằng cách giới thiệu một $n$-category là một danh mục được làm giàu trong danh mục của $(n-1)$-Thể loại.

Thật tốt khi bạn đã trích dẫn bài báo của Baez và Dolan, bài báo đã giới thiệu một mô hình ban đầu cho khái niệm về kẻ yếu $n$-thể loại. Từ năm 1995 đến năm 2001, có một sự gia tăng mạnh mẽ của các mô hình khác. Về mặt đạo đức, họ phải là loại được phong phú một cách yếu kém trong loại yếu kém$(n-1)$-category, nhưng có nhiều cách để xác định mức độ làm giàu yếu, bởi vì có nhiều cách để theo dõi các ô cao hơn và cách chúng kết hợp với nhau. Năm 2004, đã có một hội nghị để cố gắng tập hợp mọi người lại với nhau và tìm ra điểm chung giữa các mô hình và tương đương với các mô hình khác. Nó không dẫn đến một mô hình nổi lên như là mô hình "tiêu chuẩn" và tôi không nghĩ bạn nên mong đợi điều đó sớm xảy ra. Tuy nhiên, bây giờ chúng tôi biết rằng các mô hình cho yếu$n$-các thể loại nói chung rơi vào hai phe. Wikipedia nói một cách độc đáo :

Về cơ bản có hai loại lý thuyết: loại lý thuyết trong đó các ô cao hơn và các thành phần cao hơn được thực hiện theo phương pháp đại số (đáng chú ý nhất là lý thuyết của Michael Batanin về các hạng mục cao hơn yếu) và loại lý thuyết trong đó nhiều mô hình tôpô hơn được sử dụng (ví dụ: loại cao hơn như một tập hợp đơn giản thỏa mãn một số tính chất phổ quát).

Wikipedia cũng cho biết "Một số định nghĩa đã được đưa ra, và cho biết khi nào chúng tương đương, và theo nghĩa nào, đã trở thành một đối tượng nghiên cứu mới trong lý thuyết phạm trù." Điều này phù hợp với hiểu biết của tôi về lĩnh vực này như hiện tại. Tôi nghĩ về lý thuyết phạm trù cao hơn là quan tâm đến các câu hỏi về nhiều mô hình cho yếu$n$-Thể loại. Điều đó khác với nghiên cứu về$(\infty,n)$-categories, nằm nhiều hơn trong lý thuyết tương đồng.

Bây giờ, những người khác có thể đi cùng và nói "$(\infty,n)$-categories là điều đúng đắn "bởi vì MathOverflow có đại diện cho các nhà lý thuyết đồng tính nhiều hơn các nhà lý thuyết loại cao hơn. Bạn có thể có cảm giác tương tự khi đọc nLab, một lần nữa dựa trên người viết ở đó. Nhưng nếu bạn đi chơi ở Sydney, Úc, khi lý thuyết phạm trù cao hơn vẫn tồn tại và tốt, bạn sẽ không nghe thấy mọi người nói $(\infty,n)$-categories là mô hình "đúng" hoặc định lý unicity cho $(\infty,n)$-categories giải quyết vấn đề từ năm 2004 về việc tìm ra các mô hình yếu $n$-các thể loại tương đương nhau.

Cũng có rất nhiều công việc đang được tiến hành liên quan đến giả thuyết ổn định, giả thuyết rối và giả thuyết cobordism trong các mô hình yếu $n$-Thể loại. Ví dụ, Batanin gần đây đã chứng minh giả thuyết ổn định cho mô hình của Rezk dựa trên$\Theta_n$-không gian. Sau đó, Batanin và tôi đã đưa ra một bằng chứng khác chứa đựng toàn bộ định nghĩa về yếu$n$-các thể loại, bao gồm cả mô hình của Rezk. Quay trở lại năm 1998 , Carlos Simpson đã chứng minh giả thuyết ổn định cho định nghĩa của Tamsamani về loại n yếu. Gepner và Haugseng đã chứng minh giả thuyết ổn định cho$(\infty,n)$- các thể loại và kiểu làm giàu yếu mà bạn sẽ nhận được khi sử dụng luận án Tiến sĩ của Haugseng (về làm giàu $\infty$-Thể loại). Tất nhiên, nổi tiếng, Lurie đã viết hàng nghìn trang để chứng minh giả thuyết chủ nghĩa cobordism cho$(\infty,n)$-categories, và Ayala và Francis đã đưa ra một bằng chứng ngắn hơn bằng cách sử dụng phép đồng nhất hóa thừa số.

Tôi chắc rằng có rất nhiều tài liệu tôi đã bỏ lỡ, và tôi chắc chắn rằng một số người sẽ không đồng ý với tôi khi nói rằng "vâng, vẫn có giá trị để nghiên cứu các mô hình yếu $n$-category thay vì chỉ nghiên cứu $(\infty,n)$-categories. "Nhưng bạn đã yêu cầu tài liệu tham khảo vì vậy đây là một loạt để giúp bạn bắt đầu.