Động học của một phân rã phóng xạ song song đồng thời

Aug 16 2020

Câu hỏi:

Một đồng vị phóng xạ, A trải qua quá trình phân rã đồng thời thành các hạt nhân khác nhau như: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {array}

Giả sử ban đầu cả P ​​và Q đều không có mặt thì sau bao nhiêu giờ lượng Q sẽ chỉ gấp đôi lượng A còn lại?

Cách giải quyết của tôi:

Tôi đã nhận $t_{1/2}$ cho $A$ như $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$

Bây giờ từ định luật Rutherford-soddy , số nguyên tử còn lại sau$n$ một nửa cuộc đời là,

$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

và số lượng nửa đời $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$

Đối với đồng vị $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ Ở đâu $T$ là thời gian phân rã phổ biến cho $\mathrm A$$\mathrm Q$

Đối với $\mathrm Q$ Tôi đã phải giả định rằng $\mathrm Q$ cũng đang trải qua quá trình phân rã phóng xạ để hình thành mối quan hệ giữa $\mathrm A$$\mathrm Q$

Bây giờ sử dụng công thức tương tự như trên $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$

Bây giờ áp dụng điều kiện trong câu hỏi, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$

Nâng cao sức mạnh $9$ ở cả hai bên,

$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$

có nghĩa là,

$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$

Vì thế,

$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$

Mặc dù tôi đã có câu trả lời và nó thỏa mãn điều kiện, tôi vẫn nghĩ nó sai vì giả định được đưa ra cho $\mathrm Q$ và điều gì đó khác cần được thực hiện để tạo mối quan hệ giữa $\mathrm A$$\mathrm Q$ Hơn nữa, nó được đưa ra trong câu hỏi mà ban đầu không $\mathrm P$ cũng không $\mathrm Q$ đã có mặt và tôi đoán giả định vi phạm điều đó.

Trả lời

6 Yashwini Aug 16 2020 at 17:52

Phản ứng song song hoặc phản ứng phụ của bậc đầu tiên: Khái niệm

$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$

Đơn hàng có hiệu lực = 1

$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$

$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$

$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$

Phân biệt liên quan đến $T$,

$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$

$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$

$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$

tương tự,

$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$

$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$

  • tỷ lệ của $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [nhân với 100 cho phần trăm]
  • tỷ lệ của $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [nhân với 100 cho phần trăm]

Vấn đề thực tế

\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}

$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$

$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$

$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$

$$\implies t= 6\mathrm h$$

Vì vậy, câu trả lời là 6 giờ.

9 Safdar Aug 16 2020 at 18:50

Câu hỏi đã được giải quyết bởi Yashwini và câu trả lời là chính xác.$^2$ Một lời giải thích trực quan và cụ thể hơn cho câu hỏi sẽ theo sau đây.

Bây giờ, hai phản ứng được đưa ra là:

\ begin {array} {cc} \ request {hủy} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {mảng}

Bây giờ sử dụng luật tỷ giá, chúng tôi nhận được,

\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}

Hằng số tốc độ đối với phản ứng bậc một có chu kỳ bán rã là $t_{1/2}$ được định nghĩa là:

$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$

Bây giờ, thay thế các giá trị đã cho của $t_{1/2}$ vào các phương trình, chúng tôi nhận được $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (từ $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$

Bây giờ, theo trực giác vì cả hai phản ứng diễn ra cùng nhau, nên có nghĩa là cứ một mol P được tạo thành thì có hai mol Q tạo thành. Do đó, cứ một mol P tạo thành thì có ba mol A phản ứng (vì cứ một mol P và Q thì cần một mol).

Bây giờ, chúng tôi thêm luật lệ phí ($1$) và $(2)$, vì các phản ứng diễn ra đồng thời, nên:

$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$

Bây giờ, kể từ khi sử dụng mối quan hệ giữa $k_\mathrm{P}$$k_\mathrm{Q}$, chúng tôi nhận được $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$

Do đó, sử dụng luật tốc độ tích hợp cho phản ứng bậc nhất trên phương trình $(4)$, chúng tôi nhận được:

$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$

Bây giờ, lượng $A$ được sử dụng ở đây sẽ là $A_0 -A$và chúng tôi nhận được giá trị đó là:

$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$

Bây giờ, như chúng ta đã lưu ý trước đây, cứ ba mol A được sử dụng thì có hai mol Q được tạo thành. Điều này có nghĩa là lượng Q bây giờ trong hỗn hợp sẽ là 2/3$A_\text{used}$. Do đó lượng Q sẽ là:

$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$

Bây giờ, chúng tôi được đưa ra điều kiện, $Q = 2A$, giá trị thay thế của $Q$$A$ vào mối quan hệ đã cho, chúng tôi nhận được:

$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$

Giải quyết để $t$, chúng tôi nhận được:

\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}

Bây giờ, sử dụng phương trình $(3)$, chúng tôi nhận được tỷ lệ không đổi $k_\mathrm P$ được $\frac{\ln 2}{9}$. Thay giá trị này vào biểu thức thời gian, chúng ta nhận được:

$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$

Do đó, thời gian cần thiết để điều kiện này xảy ra là:

$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$