giá trị mong đợi của mẫu

Question

Giả sử chúng ta có một bản phân phối có một số pdf, $f(x)= 4(3-x^3)$ cho $0<x<2$và $0$nơi khác. Tôi có thể tìm thấy$E(X)$ và $Var(X)$ sử dụng định nghĩa tiêu chuẩn về giá trị kỳ vọng (tức là tích phân của $xf(x)$) và phương sai. Nhưng giả sử chúng ta được cung cấp một mẫu ngẫu nhiên có kích thước nào đó, giả sử$15$, đã thu được từ phân phối này, và do đó bản thân mẫu này sẽ có giá trị trung bình, và vấn đề là tìm giá trị kỳ vọng của giá trị trung bình mẫu. Ban đầu tôi nghĩ rằng giá trị kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu sẽ chỉ là$E(X)$ và $Var(X)$ tương ứng, nhưng tôi không chắc liệu trung bình mẫu và phương sai có bị ảnh hưởng bởi kích thước mẫu hay không.

Truy vấn của tôi là liệu giá trị mong đợi của giá trị trung bình mẫu có giống với $E(X)$ không phụ thuộc vào cỡ mẫu, và nếu không thì cách tiếp cận để xác định giá trị kỳ vọng của mẫu là gì có nghĩa là phải tính đến cỡ mẫu.

Cảm ơn bạn.

Answer 1

Giả định rằng $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ có ý nghĩa $\mu$ và một phương sai $\sigma^2$. Các$\text{Distribution}$ không cần bình thường (mặc dù nó có thể là như vậy).

Tôi đã cung cấp đầy đủ các dẫn xuất. Đề xuất của tôi là cuộn xuống từng dòng một và cố gắng đoán trước dòng tiếp theo của tôi để bạn có thể tự chứng minh điều đó.

NGHĨA LÀ

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

BIẾN

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

LƯU Ý : Đây KHÔNG phải là một bằng chứng của định lý giới hạn trung tâm.