Kích thước và thổi phồng

Question

Cân nhắc nhiều loại xạ ảnh $X$, và để $Y$là một vùng phụ khép kín. Hãy xem xét vụ nổ của$X$ dọc theo Y: chúng tôi có được nhiều loại mới $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, cùng với một bản đồ tiểu sử $$b:\tilde{X}\to X$$ đó là một đẳng cấu bên ngoài quỹ tích đặc biệt $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Câu hỏi: Có đúng như vậy không $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Ý tưởng của tôi: Vụ nổ là một bản đồ nhị phân, do đó là một phép đẳng cấu trên một tập hợp con mở (dày đặc); vì thứ nguyên của một giống được định nghĩa là mức độ siêu việt của trường hàm giống nhau trên tập mở, nên chúng ta có thể kết luận.

Ý kiến ​​của tôi có đúng không? Tôi đang hỏi điều này vì tôi bị thuyết phục về điều này đối với trường hợp thổi phồng một điểm, đối với trường hợp tổng quát của một loại phụ tôi không chắc chắn, vì trực giác có vẻ như tôi đang thêm không gian lớn (tôi biết, nó không khắt khe, nhưng tôi mới bắt đầu nghiên cứu chủ đề này).

Answer 1

Có một số điều cần ghi nhớ. Một là tôi nghĩ rằng bạn muốn công trình thổi bùng lên ở$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; ít nhất điều này hoạt động khi$Y$ là một nút giao thông hoàn chỉnh.

Mặc dù vậy, nói chung, như bạn đã nói, quỹ tích đặc biệt phát sinh như là hình chiếu của gói bình thường $\mathcal N_{Y|X}$. Bộ$\dim X = n$ và $\dim Y = m$. Thứ hạng của gói bình thường luôn là thứ nguyên của$Y\subset X$, vì thế $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ có kích thước tương đối $n - m - 1$ (nghĩa là đây là kích thước của các sợi của $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, bản đồ cấu trúc của bó xạ ảnh). Bây giờ thêm vào điều này kích thước của$Y$, chúng tôi nhận được thứ nguyên của gói xạ ảnh dưới dạng nhiều loại, cụ thể là $(n-m-1) + m = n-1$, cho thấy rằng nó có thứ nguyên $1$ trong $X$. Chính vì lý do này mà quỹ tích đặc biệt của một phép cộng thường được gọi là ước số đặc biệt .