Làm cách nào để tìm ra qubit thứ hai để tìm toán tử mật độ giảm? [bản sao]

Question

Tôi đang thực hiện một bài tập để tìm ra qubit thứ hai để tìm toán tử mật độ giảm cho qubit đầu tiên:

$tr_2|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$

Tôi chỉ tự hỏi nếu tôi theo dõi cho qubit đầu tiên, tôi có nên:

$tr_1|11\rangle\langle00| = |1\rangle\langle0|\langle0|1\rangle$ hoặc là $tr_1|11\rangle\langle00| = \langle0|1\rangle|1\rangle\langle0|$ ?

Trong sách giáo khoa Nielsen-and-Chuang, chúng tôi có $tr(|b_1\rangle\langle b_2|)=\langle b_2|b_1\rangle$. Tôi có thể nói phía bên trái và bên phải chỉ là hai cách để xác định vị trí của một phần tử trong ma trận không? Cảm ơn!!

Answer 1

Giả sử bạn có trạng thái $|\psi\rangle = \dfrac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ thì biểu diễn ma trận mật độ của nó là

$$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi | = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Bây giờ, nếu chúng ta muốn theo dõi hệ thống con$B$ để tìm toán tử mật độ của hệ thống $A$ biểu thị là $\rho_A$ thì chúng ta có thể làm như sau:

$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Nó chỉ ra rằng $\rho_B = Tr_A(\rho)$ giống như $\rho_A$ ở đây và từ việc nhìn vào trạng thái, bạn có thể hiểu tại sao lại như vậy.

---

Nói chung hơn, đưa ra một toán tử mật độ

$$ \rho = \begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12} & \rho_{13} & \rho_{14}\\ \rho_{21} & \rho_{22} & \rho_{23} & \rho_{24}\\ \rho_{31} & \rho_{32} & \rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{41} & \rho_{42} & \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix}$$

sau đó

$$ \rho_A = Tr_B(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{12}\\\rho_{21} & \rho_{22} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{13} & \rho_{14} \\ \rho_{23} & \rho_{24} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{31} & \rho_{32} \\ \rho_{41} & \rho_{42} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{33} & \rho_{34} \\ \rho_{43} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{22} & \rho_{13} + \rho_{24} \\ \rho_{31} + \rho_{42} & \rho_{33} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$

và

$$ \rho_B = Tr_A(\rho) = \begin{pmatrix} Tr\begin{pmatrix} \rho_{11} & \rho_{13}\\\rho_{31} & \rho_{33} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix} \rho_{12} & \rho_{14} \\ \rho_{32} & \rho_{34} \end{pmatrix}\\ Tr\begin{pmatrix} \rho_{21} & \rho_{23} \\ \rho_{41} & \rho_{43} \end{pmatrix} & Tr\begin{pmatrix}\rho_{22} & \rho_{24} \\ \rho_{42} & \rho_{44} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_{11} + \rho_{33} & \rho_{12} + \rho_{34} \\ \rho_{21} + \rho_{43} & \rho_{22} + \rho_{44} \end{pmatrix} $$

Answer 2

Nếu bạn chia bang của mình thành một hệ thống hai bên $\rho_{AB} \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ thì một công thức chung cho dấu vết một phần được đưa ra bởi:

$$ \text{Tr}_B (\rho) = \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) \rho (I_A \otimes | j \rangle_B) $$

Ở đâu $\{ |j\rangle \}$ là cơ sở cho hệ thống $B$. Trong trường hợp của bạn, đối với câu lệnh đầu tiên, bạn có thể sử dụng công thức này để tìm

\begin{align} \text{Tr}_B (|11\rangle\langle00|) &= \sum_{j} (I_A \otimes \langle j |_B) |11\rangle\langle00| (I_A \otimes | j \rangle_B) \\ &= (I_A \otimes \langle 0 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 0 \rangle_B) \\ &\qquad+ (I_A \otimes \langle 1 |_B) |1\rangle_A |1\rangle_B \langle0|_A \langle0|_B (I_A \otimes | 1 \rangle_B)\\ &= |1\rangle\langle0|_A (\langle 0|1\rangle\langle 0|0\rangle) + |1\rangle\langle 0|_A(\langle1|1\rangle\langle0|1\rangle) \\ &= |1\rangle\langle0|_A \langle 0| 1\rangle (\langle 0|0\rangle + \langle 1|1\rangle) \\ &= 0 \end{align} và bạn có thể thực hiện một phép tính tương tự để suy ra câu lệnh thứ hai.