Làm thế nào để hiểu quỹ đạo của kích thước $1$ trong trường hợp này
Tôi là một người mới bắt đầu tự học về lý thuyết nhóm, vì vậy hãy vui lòng với câu hỏi này có thể có một số câu trả lời đơn giản. Đưa ra$p$-nhóm $G$ cho một số nguyên tố $p$, để cho $H$ là một nhóm con của $G$. Để cho$X$ là tập hợp của tất cả các liên từ của $H$.
Hiện nay, $H$ Hành động trên $X$bằng cách liên hợp. Tôi đọc rằng có ít nhất$p$ quỹ đạo có kích thước $1$ trong $X$.
Một ví dụ về quỹ đạo có kích thước $1$ Là $\{H\} \in X$. Ví dụ này theo sau kể từ$aHa^{-1}=H$ bất cứ gì $a \in H$ từ $H$ là một nhóm con và chúng tôi có $\text{Orb}(H)=H$.
Nhưng tôi đã đọc nó kể từ khi $p$ là số nguyên tố, rằng có ít nhất $p-1$ quỹ đạo khác có kích thước $1$. Vì vậy, nên có một quỹ đạo khác$gHg^{-1} \neq H$ có kích thước $1$ trong $X$.
Điều tôi không hiểu là làm thế nào $gHg^{-1}$ có thể có kích thước $1$ dưới tác động của $H$. Điều này không có nghĩa là$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ và $\text{Orb}(gHg^{-1})$ có thể không nhất thiết phải bằng $gHg^{-1}$. Tuy nhiên, nó phải có kích thước$1$, có nghĩa là $\text{Orb}(gHg^{-1})$ trên thực tế phải bằng $gHg^{-1}$.
Để tham khảo, kết quả này đến từ Định lý Rotman 4.6, trong đó không có điều kiện bổ sung nào được áp dụng $H$ và $G$ ngoại trừ việc $H$ là một nhóm con của $p$-nhóm $G$ ... Tôi còn thiếu gì ở đây?
Trả lời
Điều đầu tiên cần lưu ý là nếu $|X| = 1$ sau đó chúng tôi sẽ không có $p-1$ quỹ đạo khác, vì vậy chúng tôi cũng sẽ cần phải giả định $|X| \gt 1$.
Chúng tôi sẽ sử dụng hai thuộc tính này của quỹ đạo để chứng minh tuyên bố của chúng tôi:
Các quỹ đạo là rời rạc và sự kết hợp của chúng là toàn bộ $X$ (điều này sẽ dễ dàng nhìn thấy).
Kích thước quỹ đạo chia thứ tự nhóm (điều này được chứng minh trong định lý quỹ đạo ổn định)
Theo thuộc tính (1), chúng tôi có điều đó $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ Ở đâu $\mathcal{O}$là tập hợp chứa tất cả các quỹ đạo của hành động. Bây giờ chúng ta chia$\mathcal{O}$ thành hai tập con rời rạc: $\mathcal{O'}$ và $\mathcal{O''}$ Ở đâu $\mathcal{O'}$ là tập hợp tất cả các quỹ đạo có kích thước $1$ và $\mathcal{O''}$ là tập hợp tất cả các quỹ đạo có kích thước lớn hơn $1$. Điều này có nghĩa là$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ từ $|Y'| = 1$. Theo tính chất (2), chúng tôi biết rằng$|Y''|$ phân chia $|X| = p^n$ và $|Y''| > 1$ có nghĩa là $|Y''| = p^k$ Ở đâu $k > 1$ nghĩa là $p$ phân chia $|Y''|$. Chúng ta có thể xem$X$ như một quỹ đạo nơi hành động nhóm được nhóm liên hợp $G$. Điều này có nghĩa rằng$|X|$ phân chia $|G| = p^n$. Từ$|X| > 1$ chúng tôi có cái đó $p$ phân chia $|X|$. Từ$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ cũng phải chia $|\mathcal{O'}|$ nghĩa là $|\mathcal{O'}| = pm$ cho một số $m \gt 1$ nghĩa là $|\mathcal{O'}| \geq p$ đó là những gì chúng tôi đang cố gắng chứng minh.