Mathematica xuất ra một tích phân lượng giác ( $\sec^3$) trong một hình thức mà tôi không thể chứng minh

Question

Tích phân bất định là tất nhiên $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica đưa ra:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

Các $1/2 \sec(x) \tan(x)$ ở đó, nhưng tôi đã dành vài giờ để cố gắng chứng minh rằng lôgarit của Mathematica thực sự là $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, và tôi không thể làm điều đó! Các$x/2$nửa góc ném một cờ lê vào công việc cho tôi. Họ chỉ có vẻ rất sai đối với tôi, nó giống như công thức nửa góc ngược. Tôi nhận được căn bậc hai nơi tôi muốn xem các hình vuông.

Tôi chắc chắn rằng tôi đang thiếu một cái gì đó rõ ràng, nhưng tôi không thể nhìn thấy nó!

Answer 1

Phân biệt, kết hợp các logarit và làm việc ngược lại bằng cách sử dụng các công thức nửa góc và nhận dạng $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Bạn có thể tự mình đến đó nếu lần đầu tiên bạn hiển thị:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Để có được kết quả trên, hãy xem điều gì sẽ xảy ra khi bạn đặt tất cả vào một mẫu số chung:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

Tử số rõ ràng là 1 bởi danh tính $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ và mẫu số là $\cos(x)$bằng nửa góc. Để xem điều này, hãy mở rộng mẫu số$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ để có được $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Sau đó chúng tôi có$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ và $1/d$ Là $\sec(x)$

... và đối với phần còn lại của đạo hàm:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Vì vậy, do đó:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)