Phân vùng các sản phẩm dạng cacte $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "Theo đường chéo"

Question

Hãy xem xét sản phẩm của các-ten $[0,2]\times[0,3]$. Các phần tử của tập hợp này là$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Các tập hợp sau phân vùng sản phẩm cacte này "theo đường chéo": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ Có cách nào để làm điều này cho tùy ý không $n,m\geq 0$? Ban đầu tôi nghĩ về cách sau. Cho mỗi$k\in[0,m+n]$, để cho $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Nhưng những $J_k$chứa nhiều phần tử hơn tôi cần. Bất kỳ đề xuất để sửa đổi điều này?

Answer 1

Tôi đang kiểm tra định nghĩa của bạn về bộ $J_k$ cho ví dụ của bạn ở trên và hóa ra nó hoạt động tốt.

Ví dụ, hãy xem xét $k=2$. Sau đó

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Vì vậy, bạn muốn các cặp có thứ tự đó trong hình chữ nhật $[0,2] \times [0,3]$ đó là trong dòng $j = -i + 2$. Và bạn có thể thấy, giải phương trình đó (biết rằng$i, j \in \mathbb{N}$) bạn sẽ nhận được các giải pháp chính xác mà bạn đã viết trong câu hỏi của mình.

Nói chung, đó là những gì bạn đang làm trong những bộ

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Ở đây bạn đang liệt kê tất cả các cặp trong hình chữ nhật $[0,n] \times [0,m]$ và trong dòng $i + j = k$.

Do đó, tập hợp những bộ $J_k$ sẽ cung cấp cho bạn phân vùng của hình chữ nhật đó "theo đường chéo".