Tích phân nhân của $e^{itH_{0}}$

Question

Trong cơ học lượng tử, trạng thái tiến hóa theo thời gian của hệ một hạt được cho bởi $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, Ở đâu $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ là người Hamilton tự do, $t\in \mathbb{R}$ và $\Delta$là toán tử Laplace thông thường. Tôi đã thấy ở đâu đó rằng cả hai$e^{itH_{0}}$ và $e^{tH_{0}}$có nhân tích phân, tức là \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} và \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ dấu ngã {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } ở đâu$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ và $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Câu hỏi: Làm cách nào để chứng minh (\ ref {1}) và (\ ref {2})?

Answer 1

Về cơ bản, chúng tôi có một PDE $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Thực hiện phép biến đổi Fourier trong $\vec{x}$ đối số dẫn đến ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ với giải pháp $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

Phía bên tay phải là sản phẩm của hai chức năng của $\vec{k}$ và do đó là biến đổi Fourier của một tích chập: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ Ở đâu $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Nếu $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ sau đó $\hat{u}$ có thể được chuyển đổi dẫn đến $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

Vì vậy, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$