Tìm cơ sở từ hai không gian con

Question

Bài toán này liên quan đến việc tìm ra cơ sở của sự kết hợp và giao điểm của hai không gian con.

Chúng ta có $V$ và $U$ không gian con của $\mathbb R^4$

$$V = \begin{Bmatrix} {(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + x_2 = x_3 + x_4}\end{Bmatrix}$$ $$U = span \{ \begin{bmatrix}0\\0 \\1 \\1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\0 \\1 \\1 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-1 \\2 \\-1 \\ \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \} \\ $$

Chúng tôi muốn tìm thứ nguyên và cơ sở cho:

$a)\text{ } U + V$
$b)\text{ } U \cap V$

Nỗ lực của tôi: Trước tiên, hãy thử tìm không gian cột của U và cơ sở cho V The $$rref(U) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$$ Vì chỉ ba cột đầu tiên có phần tử tổng hợp, nên chỉ ba hàng đầu tiên của $U$ tạo không gian cột: $\begin{bmatrix}0\\0 \\1 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\0 \\1 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-1 \\2 \\-1\end{bmatrix}$

Bây giờ chúng ta hãy tìm cơ sở cho $V = \begin{Bmatrix} {(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + x_2 = x_3 + x_4}\end{Bmatrix}$. Tôi đã làm điều này bằng cách chỉ tạo vectơ thỏa mãn ràng buộc cho đến khi tôi không thể nữa. Nếu đây là cách làm sai, xin vui lòng cho tôi biết!

Các vectơ tôi tìm thấy là: $\begin{bmatrix}1\\1 \\2 \\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1 \\1 \\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1 \\0 \\2\end{bmatrix}$.

Vì vậy, tôi biết chúng tôi muốn tìm thứ nguyên và cơ sở cho $U + V$. Tôi nghĩ điều tôi nên làm bây giờ là tìm các vectơ độc lập tuyến tính của cả bảy vectơ trên. Số vectơ sẽ là thứ nguyên và cơ sở chỉ là các vectơ độc lập. Chính xác?

Tôi nên làm như thế nào để làm điều tương tự cho $U \cap V$. Tôi bối rối trước biểu tượng "giao nhau". Họ chỉ muốn tôi liệt kê cơ sở của các vectơ mà cả hai có điểm chung?

Answer 1

• Một nitpick: người ta thường nói "cơ sở" hơn là "cơ sở", vì không có cơ sở duy nhất cho một không gian con nhất định.
• Cách tiếp cận của bạn cho $U+V$ sẽ làm việc.
• Đối với giao lộ: lưu ý rằng bất kỳ thành viên nào của $U$ có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của ba yếu tố cơ bản của $U$mà bạn đã tìm thấy. Vì vậy, mọi yếu tố của$U$ có dạng $(3b, -c, a+b+2c, a+b-c)$ Ở đâu $a,b,c$là vô hướng. Nếu cái này cũng thuộc về$V$, sau đó chúng ta phải có $3b-c = 2a+2b+c$ I E $b = 2(a+c)$. Vì vậy, các yếu tố của$U \cap V$ có dạng $(6a+6c, -c, 3a + 4c, 3a + c)$. Bạn có thể lấy nó từ đây?