Vấn đề đếm: Cặp
Giả sử bạn và một người bạn được tặng 9 chiếc cặp trông giống hệt nhau, 3 chiếc trong số đó có 100 đô la trong khi những chiếc còn lại để trống. Cả hai bạn lần lượt chọn cặp (với người thứ nhất chọn 5 và người thứ hai chọn 4) và chỉ khi kết thúc cặp mới được mở. Tôi đã thực hiện 1-4 phần của các câu hỏi HW này nhưng không chắc chắn cách thực hiện phần cuối cùng:
- Nếu bạn đi trước, xác suất bạn chọn được một chiếc cặp rỗng trong lượt đi đầu tiên là bao nhiêu.
- Giả sử bạn đã đi trước và chọn một chiếc cặp trống. Xác suất mà bạn của bạn cũng chọn được một chiếc cặp rỗng trong lượt đầu tiên của họ, cho rằng bạn cũng đã chọn được một chiếc cặp rỗng trong lượt đầu tiên của mình.
- Giả sử bạn đi trước và chọn một chiếc cặp có 100 đô la. Xác suất để bạn của bạn chọn được một chiếc cặp rỗng trong lượt đầu tiên của họ, cho rằng bạn cũng đã chọn được một chiếc có 100 đô la trong lượt đầu tiên của mình.
- Nếu trò chơi kết thúc sau khi mỗi người chỉ đi một lượt, hãy chứng tỏ rằng xác suất bạn chọn một chiếc cặp có 100 đô la là như nhau bất kể bạn có bắt đầu hay không.
- Nếu trò chơi kết thúc khi mỗi chiếc cặp được chọn, tốt hơn nên bắt đầu hay đi tiếp?
CHỈNH SỬA: Mục tiêu của trò chơi là kiếm càng ít tiền càng tốt vì 'cờ bạc là xấu'.
Nỗ lực của tôi:
Câu trả lời là không. những cách bạn có thể chọn một chiếc cặp trống chia cho số không. những cách bạn có thể chọn một chiếc cặp. Đây là 6C1 (vì có 6 chiếc cặp rỗng) chia cho 9C1 được thương là 2/3.
Tôi tin rằng câu trả lời là 2/3 (từ phần 1) nhân với 5C1 (vì bây giờ còn lại 5 chiếc cặp trống và người bạn chọn một chiếc trong số này) chia cho 8C1 (vì bây giờ chỉ còn lại 8 chiếc cặp để chọn. ). Đây là khoảng. 0,4167.
Tôi tin rằng đây là $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $ vì người đầu tiên phải chọn một trong ba chiếc cặp đựng tiền trên tổng số 9 chiếc, trong khi người thứ hai phải chọn một chiếc trong số 6 chiếc cặp trống trong số 8 chiếc còn lại. Đây là 0,25.
Cách tôi nghĩ để tiếp cận vấn đề này là xem xét bốn sự kiện khác nhau, trong đó:
- Sự kiện A: Bạn đi trước và nhận được 100 đô la, sau đó người bạn chọn trống.
- Sự kiện B: Bạn đi trước và nhận được 100 đô la, sau đó người bạn cũng nhận được 100 đô la.
- Sự kiện C: Bạn của bạn đi trước và nhận được 100 đô la, sau đó bạn cũng nhận được 100 đô la.
- Sự kiện D: Bạn của bạn đi trước và chọn trống, sau đó bạn nhận được 100 đô la.
Do đó, nếu bạn đi đầu tiên thì xác suất nhận được 100 đô la là xác suất của sự kiện A cộng với xác suất của sự kiện B. Nếu bạn đi thứ hai, đó là xác suất của sự kiện C cộng với xác suất của sự kiện D. Cả hai biểu thức này đều là $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ là 1/3.
Phần này tôi bối rối về cách tiếp cận, vì có nhiều trình tự khác nhau có thể chọn 6 chiếc cặp trống và 3 chiếc có 100 đô la.
Bất kỳ lời khuyên sẽ được đánh giá rất cao.
Trả lời
Nếu bạn đi trước, số lượng va li "tiền" mà bạn nhận được tuân theo phân phối siêu phương , vì năm va li của bạn được rút ra mà không có sự thay thế từ tổng số$3$ va li "tiền" và $6$ những cái trống.
$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$
Nếu bạn về nhì, các xác suất tương ứng sẽ theo thứ tự ngược lại. Bạn có thể thấy rằng người chơi đi trước có xu hướng nhận được nhiều tiền hơn.
Câu trả lời của bạn trong # 2 là sai.
Giả sử bạn đã đi trước và chọn một chiếc cặp trống. Xác suất mà bạn của bạn cũng chọn được một chiếc cặp rỗng trong lượt đầu tiên của họ, cho rằng bạn cũng đã chọn được một chiếc cặp rỗng trong lượt đầu tiên của mình.
Bạn được yêu cầu giả định rằng bạn đã đi trước và chọn một chiếc cặp trống. Điều này có nghĩa là còn lại 8 chiếc cặp trong đó chỉ có 5 chiếc trống.
Câu trả lời là
$$\frac{5}{8}.$$
Vì lý do tương tự như trên, câu trả lời cho # 3 là
$$\frac{6}{8}.$$
# 4 là khó khăn và có thể bị tấn công theo hai cách khác nhau.
Phương pháp tiếp cận dành cho người đi bộ là
cơ hội của bạn về chiếc cặp đựng tiền, nếu bạn đi trước là $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$
Nếu bạn về thứ hai, có hai khả năng xảy ra - hoặc bạn của bạn chọn một chiếc cặp trống, và sau đó bạn chọn một chiếc có tiền, hoặc bạn của bạn chọn một chiếc cặp đựng tiền và sau đó bạn cũng chọn một chiếc có tiền.
Các xác suất kết hợp ở đây là $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$
Phân tích thanh lịch hơn là lý do rằng việc chọn một chiếc cặp về mặt toán học tương đương với việc được giao một chiếc cặp một cách ngẫu nhiên. Nếu người kiểm duyệt chọn ngẫu nhiên hai chiếc cặp, một chiếc cho bạn và một chiếc cho bạn của bạn, khả năng chiếc cặp của bạn chứa tiền sẽ không bị ảnh hưởng bởi việc người điều hành đưa chiếc cặp của bạn cho bạn trước hay sau khi người kiểm duyệt đưa chiếc cặp của anh ta cho bạn của bạn.
Chỉnh sửa
Tôi đã hiểu sai
Nếu trò chơi kết thúc khi mỗi chiếc cặp được chọn, tốt hơn nên bắt đầu hay đi tiếp?
Nếu bạn đi trước, bạn sẽ được tặng 5 chiếc cặp và bạn của bạn sẽ chỉ được tặng 4 chiếc cặp. Điều này tương đương với việc giả sử rằng có 10 chiếc cặp, thay vì 9 chiếc và chiếc cặp thứ 10 buộc phải trống.
Do đó, nếu bạn đi trước, bạn sẽ có 5 chiếc cặp, trong số đó có thể có tiền. Nếu bạn đi thứ hai, một trong những chiếc cặp của bạn (chiếc cặp thứ 10 trong tưởng tượng) buộc phải trống.
Do đó, người đi thứ hai có thể mong đợi nhận được ít tiền hơn.