Yếu $L^p$ hội tụ để đi đến giới hạn trong xấp xỉ tuyến tính từng mảnh của hàm dấu?

Question

Xem xét $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ đó là một phiên bản làm mịn của $\mathrm{sign}$ chức năng.

Giả sử rằng $u_n \to u$ yếu trong $L^p([0,1])$ cho tất cả $p \in [1,\infty]$ như $n \to \infty$. Có đúng như vậy không$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ yếu trong một số $L^p$?

Answer 1

Giả sử $\epsilon \le 1$. Trên$[0,1]$, để cho $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ Sau đó $u_n \rightharpoonup 2$ trong $L^p([0,1])$ cho $1 \le p < \infty$, nhưng $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

Không chắc chắn về $p = \infty$, nhưng tôi nghi ngờ ví dụ này hoạt động.