$0$-surgeries trên trefoil và hình số tám
Để cho $M$ và $N$ là $3$-manifolds thu được bằng cách không phẫu thuật trên cây ba lá (thuận tay trái) và nút thắt hình số tám tương ứng.
Cách dễ dàng để chứng minh điều đó là gì $M$ và $N$ không phải là homeomorphic?
Lưu ý: Khi chúng là các quả cầu tương đồng nút (cả hai đều là tương đồng $S^1 \times S^2$'s), tôi không thể sử dụng các bất biến cổ điển.
Trả lời
Nếu bạn hài lòng khi mang theo máy móc hạng nặng thì bạn có thể tính toán một số loại tương đồng Floer, như phiên bản 'mũ' của tương đồng Heegaard Floer: điều này có xếp hạng 2 cho $S^3_0(3_1)$ và xếp hạng 4 cho $S^3_0(4_1)$, vì vậy chúng khác nhau.
Mặt khác, trong những trường hợp như thế này khi bạn có trong đầu một cặp 3 đa tạp rất cụ thể, thường là đủ để phân biệt các nhóm cơ bản của chúng bằng cách đếm các bìa của một số thứ tự hữu hạn. Ở đây, bạn có thể giải quyết vấn đề này bằng tay bắt đầu từ các bài thuyết trình của Wirtinger về các nhóm nút tương ứng hoặc bạn có thể chỉ cần yêu cầu SnapPy làm điều đó:
In[1]: len(Manifold('3_1(0,1)').covers(9))
Out[1]: 4
In[2]: len(Manifold('4_1(0,1)').covers(9))
Out[2]: 2
Điều này tính gấp 9 lần số bìa của mỗi phẫu thuật 0 và vì các con số khác nhau, chúng phải có các nhóm cơ bản khác nhau.
Chúng cũng có thể được phân biệt về mặt hình học. Cả hai nút đều là chi một nút sợi, vì vậy cả hai$M$ và $N$ là các bó hình xuyến trên vòng tròn.
Phần bổ sung của hình 8 là hypebol, vì vậy đơn sắc của sợi quang là giả Anosov. Do đó monodromy trên$N$ là Anosov, và $N$ có dạng hình học Sol.
Phần bổ sung của hình tam giác là Seifert hình sợi với quỹ đạo cơ sở gấp khúc hình đĩa với các điểm hình nón bậc 2 và 3. Kinh độ cắt một sợi vòng tròn bình thường trên ranh giới 6 lần, do đó $M$ là Seifert bao quanh mặt cầu với các điểm hình nón có thứ tự 2, 3 và 6.
Từ $M$ và $N$ là những đa tạp đóng thừa nhận cấu trúc hình học riêng biệt, chúng không đồng dạng.
Hơn nữa, có thể kiểm tra rằng monodromy của $M$ như một bó hình xuyến có bậc 6, là hữu hạn, vì vậy $M$ trên thực tế thừa nhận một cấu trúc Euclid.
Miễn là chúng ta đang ném chung bồn rửa bát vào chỗ này, hãy lưu ý rằng đa thức Alexander của nút là một bất biến của đa tạp tăng 0. Vì vậy, vì hình số tám và các nút hình tam giác có các đa thức khác nhau, các phẫu thuật số 0 không phải là hình dạng đồng căn.
Đây là một bản sao tôpô đối với lập luận hình học của Josh.
Từ $H_1(M) \cong H_1(N) \cong \mathbb{Z}$, chỉ có một bìa tuần hoàn gấp 6 lần của một trong hai; gọi họ$M'$, $N'$. Cả hai$M'$ và $N'$ cả hai đều là các bó hình xuyến trên vòng tròn và các monodromies của chúng là sức mạnh thứ sáu của các monodromies của $M$ và $N$. Kể từ khi monodromy của$M$ là gốc thứ sáu của danh tính nhưng là đơn sắc của $N$ không, $M'$ Là $T^3$, trong khi $N'$ không phải.
Điều này đơn giản hơn một chút so với các đối số ở trên. Các bìa kép của (0,1) phẫu thuật cho hai đa tạp này có sự tương đồng khác nhau.
Nắp kép của phẫu thuật (0,1) trên phần bổ sung nút hình 8 có độ tương đồng Z / 5Z + Z. Nắp kép của phẫu thuật (0,1) trên phần bổ sung nút gai có độ tương đồng Z / 3Z + Z.
Không rõ việc phân biệt các đa tạp bằng cách tương đồng của các lớp phủ hoạt động như thế nào và nó được biết là không thành công đối với một số bó hình xuyến Sol nhất định. Tuy nhiên, khi nó thành công, nó cung cấp một bất biến cụ thể để phân biệt các đa tạp.
Ngoài ra, phần phủ kép của phần bù hai nút cầu bất kỳ S ^ 3 \ TBL (p, q) là phần bù của phần bù nút không đồng dạng trong L (p, q). Do đó, nó có tính tương đồng Z / pZ + Z cũng như bìa kép của phẫu thuật (0,1) (tôi ngầm hiểu là đường cong (0,1) nâng lên trong các bìa tuần hoàn). Trong trường hợp này, hình ba lá là nút (3,2) hai cầu và nút hình tám là (5,2) hai nút. Vì vậy, đây là một kỹ thuật hiệu quả để phân biệt nhiều cặp phẫu thuật (0,1) trên phần bổ sung của nút hai cầu.