Bản đồ Gysin có trong $K$-theory tôn trọng ranh giới?

Aug 16 2020

Để cho $X_1$$X_2$ được hai vòng quay khép kín$^c$ đa tạp giáp qua một vòng quay$^c$ đa tạp với ranh giới $W$.

Để cho $Z$ là một vòng quay khép kín$^c$ đa tạp với $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. Để cho$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ là bản đồ mượt mà như vậy $F|_{X_1}=f_1$$F|_{X_2}=f_2$. Chúng tôi có thể liên kết với$f_1$$f_2$ hai bản đồ sai đường (hoặc Gysin) trong $K$-học thuyết:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

Để cho $E_1\to X_1$$E_2\to X_2$ là hai $\mathbb{C}$-vector bó sao cho tồn tại một gói vectơ $\Omega\to W$ thỏa mãn $\Omega|_{X_1}\cong E_1$$\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Để cho$[E_i]\in K^0(X_i)$ biểu thị $K$-theory lớp được xác định bởi $E_i$.

Câu hỏi: Có đúng như vậy không$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?

Được thêm vào sau: Tôi sẽ quan tâm nhất đến cách tiếp cận không sử dụng trực tiếp đối ngẫu Poincare cho K-theory / K-homology.

Trả lời

1 BadEnglish Aug 20 2020 at 22:43

Để cho $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$$f:M\to X$

Chọn một cách nhúng trơn tru $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, biểu thị bởi $\chi$ bó bình thường của $X$ và bởi $\mu$ bó bình thường của $M$ sau khi biến dạng nhỏ thích hợp của $i\circ f$.

Để cho $\nu=\mu|_N$$\eta$ là nhóm bình thường của $N\subset M$ (tầm thường và một chiều)

Bằng cách xem xét các vùng lân cận hình ống, chúng tôi nhận được bản đồ tự nhiên:

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, Ở đâu $Th$ biểu thị một không gian Thơm.

Sau khi áp dụng đẳng cấu Thom $th$ trên $K^\bullet$ chúng tôi có được định nghĩa về bản đồ Gysin (đi theo hướng "bên phải" trên $Th$'S). Vì vậy đối với$f_!(E|_N)=0$ nó đủ để chứng minh rằng $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Thực ra $t^*$đang chuyển qua phép đồng cấu kết nối. Cụ thể, có một sơ đồ giao hoán:

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

Mũi tên trên cùng đến từ các vùng lân cận hình ống.

Tính đẳng cấu ngang xuất phát từ tính tầm thường của $\eta$, trong khi đình chỉ $\Sigma$ từ chuỗi sợi Puppe:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

Bản đô $\sigma$ giải thích tính giao hoán và đến từ:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ Ở đâu $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ là cổ áo của $N$.

Cuối cùng, $\Sigma^*$ là phép đồng hình kết nối và nó theo sau $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ cho tất cả $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, vì thế $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

4 NicholasKuhn Aug 16 2020 at 20:09

Câu trả lời là có, sử dụng các thuộc tính chung của các định hướng và các lớp cơ bản.

Để cho $X_1$$X_2$$n$- chiều. Sau đó$f_{!i}$ là hỗn hợp $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

Trong khi đó Poincare đối ngẫu cho $W$ có hình thức $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$$d([W]) = [X_1]-[X_2]$. Như vậy$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, và vì thế

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

kể từ khi tổng hợp

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

bằng không.