Bằng chứng tốt hơn về một bất đẳng thức số của $e^x$

Question

Sự bất bình đẳng là

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Tôi đã chứng minh điều đó bằng cách chia nó thành 3 trường hợp: $-3<z<0$, $z=0$ và $0<z<3$.

Đối với $z=0$, cả hai bên bằng nhau.

2 trường hợp còn lại được thực hiện bằng giải tích. Định nghĩa$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ và sau đó thay thế $|x|$ bởi $x$ hoặc là $-x$cho phù hợp. Sau đó, chỉ cần kiểm tra các dẫn xuất.

Nhưng theo ý kiến ​​của tôi, đó là một loại bạo lực, vì vậy tôi đang tự hỏi liệu có cách nào nhanh hơn (thông minh hơn) để thể hiện nó không.

Answer 1

Lưu ý rằng, nếu $|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}