Biên độ của $\cos$và $\sin$được chọn?

Question

Tôi không hiểu tại sao chúng tôi sử dụng$\displaystyle\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$trong phép biến đổi dưới đây. Ai đó có thể giúp giải thích?

từ

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}e^t\left(\cos(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\right)$$

biến đổi thành

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\cos(2t)+\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\sin(2t)\right)$$

để cho$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\cos\phi$và$\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\sin\phi$,

$$f(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}e^t(\cos\phi\cos(2t)+\sin\phi\sin(2t))$$

Answer 1

Hãy tập trung vào phần quan trọng, đó là hình thức$$ f(x)=a\cos x+b\sin x $$mà chúng tôi muốn thể hiện là$$ f(x)=A(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x) $$Điều kiện cần (và đủ) là$$ A\cos\varphi=a,\qquad A\sin\varphi=b $$và do đó$a^2=A^2\cos^2\varphi$,$b^2=A^2\sin^2\varphi$. Kể từ đây$$ A^2=a^2+b^2 $$Chúng tôi muốn$A>0$(không cần thiết, nhưng thuận tiện), vì vậy chúng tôi nhận được$$ A=\sqrt{a^2+b^2},\quad \cos\varphi=\frac{a}{A},\quad \sin\varphi=\frac{b}{A} $$Hai yêu cầu cuối cùng có thể được đáp ứng, bởi vì$(a/A,b/A)$là một điểm trên đường tròn đơn vị.

Answer 2

Đây là một cách để chuẩn hóa vector$v=(a,b)=\left(1,\frac12\right)$đó là

$$|v|=\sqrt{a^2+b^2} \implies \hat v=\frac{v}{|v|}$$

có chiều dài bằng$1$và điều này cho phép thực hiện chuyển đổi tiếp theo cho$\cos \phi$và$\sin \phi$.