Các ký tự riêng của ma trận đối xứng thực có tất cả đều trực giao không?
Như tôi đã học trong đại số tuyến tính, một ma trận đối xứng thực $A$ luôn luôn có các eigenvectors trực giao để $A$ là trực giao chéo hóa được. Nhưng các ký tự riêng của ma trận đối xứng thực có tất cả đều trực giao không?
Trong thực tế, $A$ có thể theo đường chéo để chúng tôi có thể tìm thấy $P$ và $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Nhưng tôi không thể chứng minh $P$ là trực giao, tôi chỉ có thể thấy rằng $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Vì thế $P^{T}PS=SP^{T}P.$Điều này không thể cho thấy rằng $P^{T}P=I_{n}.$
Vì vậy, nó này $P$trực giao? Nếu không, mối quan hệ của nó với các eigenvectors trực giao là gì?
Nhân tiện, tôi gặp vấn đề này khi tôi đang đọc một ghi chú bài giảng.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
Tôi nghĩ rằng cách của ông ấy để chứng minh bất kỳ ma trận đối xứng nào có các ký tự riêng trực giao là sai.
Mọi sự giúp đỡ sẽ được cảm ơn.
Trả lời
Định lý trong liên kết đó nói rằng $A$"có các eigenvectors trực giao" cần được phát biểu chính xác hơn nhiều. (Không có cái gọi là vectơ trực giao, vì vậy nói rằng các vector riêng là trực giao không hoàn toàn có ý nghĩa. Một tập các vectơ là trực giao hoặc không, và tập hợp tất cả các vector riêng không trực giao.)
Rõ ràng là sai khi nói bất kỳ hai biểu tượng đặc trưng nào là trực giao, bởi vì nếu $x$ là một eigenvector thì cũng vậy $2x$. Điều đúng là các eigenvectors tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao. Và điều này thật tầm thường: Giả sử$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Sau đó$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$vì thế $x\cdot y=0$.
Đó là pdf sai? Có những vấn đề nghiêm trọng với phát biểu của định lý. Nhưng giả sử ý của anh ấy thực sự là những gì tôi nói ở trên, thì bằng chứng có lẽ là đúng, vì nó rất đơn giản.
Thật vậy, bạn không thể chứng minh rằng một ma trận đường chéo $A$ là trực giao, bởi vì nó sai.
Ví dụ, lấy $A=I$(ma trận nhận dạng). Mọi ma trận khả nghịch$P$ theo đường chéo $I$, nhưng đương nhiên là $P$ không cần trực giao.
Nếu $A$ có $n$ giá trị riêng biệt (ở đâu $A$ Là $n\times n$), thì câu trả lời là đúng, bởi vì các eigenvectors tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao (xem câu trả lời của David C. Ullrich ).
Nếu không, bạn cần phải có một cơ sở của eigenvectors; sau đó, đối với mỗi giá trị riêng$\lambda$, bạn lấy các eigenvectors trong cơ sở tương ứng với $\lambda$và trực giao hóa nó. Sau đó, bạn nhận được một cơ sở trực giao của các eigenvectors.
Và vâng, bằng chứng trong bài giảng là sai: sử dụng $A=I$, lập luận sẽ chứng minh rằng mọi ma trận khả nghịch là trực giao, điều này rõ ràng là sai.