Chứng minh $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Question

Tôi đang cố gắng chứng minh điều đó cho các bộ $A$ và $B$ chúng ta có $$A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$$

Tôi tiến hành như sau:

Nếu $x\in A\setminus(A\setminus B),$ sau đó $$\begin{align}x\in A \wedge x\notin(A\setminus B) \tag1& \iff x\in A \wedge (x\notin A \vee x\in B)\\ &\iff (x\in A \wedge x\notin A) \vee(x\in A \wedge x\in B)\tag2\\ & \iff x\in A \wedge x \in B\tag3\\ & \iff x\in A\cap B\tag4\end{align}$$

Vì vậy, kể từ $A\setminus(A\setminus B)\subset A\cap B$ và $A\cap B \subset A\setminus(A\setminus B)$, chúng ta có

$$A\setminus(A\setminus B) = A \cap B$$

Câu hỏi của tôi là: cái gì $(x\in A \wedge x \notin A)$ đóng góp trong dòng $2$? Để bằng chứng hoạt động, người ta phải giả định rằng$x\in A \wedge x \notin A $ tương đương với nói $x\in\emptyset$. Điều này có chính xác?

Answer 1

Tuyên bố $x\in A\wedge x\notin A$ thực sự tương đương với tuyên bố rằng $x\in\varnothing$.

Nhưng điều này hoàn toàn dựa trên thực tế là cả hai tuyên bố đều sai .

Ví dụ, nó cũng tương đương với tuyên bố rằng $1=2$.

Tuyên bố $p\vee q$ là một tuyên bố đúng sự thật $p$ là một tuyên bố đúng hoặc $q$ là một câu nói đúng.

Vì vậy, nếu chúng ta quan sát trong tình huống đó $p$ là sai thì chúng tôi kết luận rằng $q$ là đúng.

Answer 2

Đúng rồi. Làm sao có thể$x$ cả hai đều ở trong $A$ và cũng không ở trong $A$? Nó không bao giờ xảy ra, vì vậy khi chúng ta "hoặc" điều kiện đó với bất kỳ điều gì khác, chúng ta có thể tương đương chỉ cần bỏ qua điều kiện không thể (đó là cách dòng 3 được lấy).

"Tôi bảy tuổi và tôi chín tuổi" hoặc "Tôi sở hữu một chậu cây" tương đương với "Tôi sở hữu một chậu cây".