Chứng minh rằng $(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$ cho một nguyên tố $q$ nằm trên $p$

Question

Để cho $f : A \to B$là phép biến hình giữa các vành giao hoán đơn kim. Do đó chúng ta có thể xem xét$B$-mô-đun như $A$-các mô-đun thông qua bản đồ này và $A$-mô-đun như $B$-các mô-đun thông qua căng với $- \otimes_A B$.

Không để $M$ và $N$ là $A$- và $B$-môđun tương ứng. Cho một số nguyên tố$q$ của $B$ và nằm trên một đỉnh cao $p$ trong $A$, Chúng ta biết rằng $f$ xuống bản đồ giữa các bản địa hóa tương ứng và do đó, một sự tương ứng tương tự như trên sẽ giữ cho các mô-đun tương ứng của chúng.

Tôi muốn thể hiện điều đó $$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$ như $B_q$-môđun.

Lý do của tôi như sau: kể từ khi

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

và $N_q$ là một $B_q$-môđốc, nó là một $A_p$-module, do đó $N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$ và do đó

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

Điều này nghe có vẻ ổn nhưng tôi đang sử dụng "tính liên kết của sản phẩm tensor đối với các vòng khác nhau" mà không quan tâm nhiều đến nó.

Kiểm tra sự tỉnh táo và / hoặc một tài liệu tham khảo sẽ được đánh giá cao hơn nhiều.

Answer 1

Lập luận của bạn hoạt động! Bạn chỉ đơn giản là áp dụng thực tế rằng nếu$f : A\to B$ là một phép biến hình vòng, $M$ là một quyền $A$-môđô, $N$ là một $(A,B)$-bimodule, và $L$ là bên trái $B$-môđô, thì $(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(xem tại đây ). Hãy để chúng tôi gọi đây là sự thật$(*).$ Như bạn biết, nếu $M$ là một $R$-mô-đun và $S\subseteq R$ là một tập hợp nhân, sau đó $S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$ gọi đây là sự thật $(**).$ Sau đó, đối số của bạn là phép tính sau: \begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}