Chứng minh sự tồn tại của giải pháp cho ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$
Để cho $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ có thể phân biệt hai lần với $f'' > 0$, và để $u_- > u_+$là số thực. Chứng tỏ rằng tồn tại một giải pháp$\varphi(x)$ thành phương trình vi phân sau: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ như vậy mà $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, và ở đâu $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.
Nỗ lực ban đầu của tôi là quan sát rằng DE này có thể được tích hợp độc đáo với những điều sau: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Do đó, nó đủ để chỉ ra sự tồn tại của một giải pháp cho DE này thay vào đó, nơi chúng tôi được tự do lựa chọn $C$. Tôi đã cố gắng đưa RHS sang LHS, điều này mang lại:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ Ở đâu $D \in \Bbb{R}$. Do đó, nếu chúng ta xác định:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ và giả sử rằng $g$ là không thể đảo ngược, sau đó $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ sẽ là một giải pháp cho $(2)$. Tuy nhiên, có một số vấn đề trong cách tiếp cận này mà chúng ta cần giải quyết:
- Tích phân sẽ không có ý nghĩa nếu $f(\varphi) - s\varphi + C$ biến mất tại một số thời điểm $\Bbb{R}$. Vì chúng tôi được tự do lựa chọn$C$, nếu chúng ta có thể cho thấy điều đó $f(\varphi) - s\varphi$ được giới hạn từ bên trên hoặc bên dưới, khi đó sự lựa chọn như vậy $C$sẽ tồn tại. Tôi nghi ngờ chúng ta có thể sử dụng độ lồi và định nghĩa của$s$ để chứng minh điều này, nhưng những nỗ lực của tôi cho đến nay đều vô ích.
- Nếu tích phân có ý nghĩa, một vấn đề khác là nếu $g$là không thể đảo ngược. Tuy nhiên, đây không phải là một vấn đề như FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ vì vậy nếu mẫu số không biến mất, $g'$ là liên tục và vì vậy phải hoàn toàn là tích cực hoặc tiêu cực, do đó $g$ là đơn âm hoàn toàn, do đó không thể đảo ngược.
- Vấn đề lớn nhất ở đây là định nghĩa này không đảm bảo yêu cầu của $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Tôi đã cố gắng vận dụng tích phân để phù hợp với điều kiện này, nhưng vô ích cho đến nay.
Tôi cũng đã thử các cách tiếp cận khác, chẳng hạn như sử dụng phép lặp của Picard, nhưng vì vấn đề này không thực sự là IVP nên chúng đã không thành công.
Bất kỳ trợ giúp được đánh giá cao.
Trả lời
Sử dụng các giới hạn tại $\pm\infty$, chúng ta tìm thấy $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$xem bài tập này trong Evans PDE. Độ lồi nghiêm ngặt của$\varphi\mapsto \varphi'$ theo sau từ lồi nghiêm ngặt $f''>0$ của $f$. Tài sản này mang lại$\varphi' < 0$ cho $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Vì thế,$\varphi$ là một hàm giảm dần mượt mà, giảm từ $u_-$ đến $u_+$. Để khảo sát sự ổn định của trạng thái cân bằng$\varphi = u_\pm$, chúng tôi tính dấu của đạo hàm $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ ở trạng thái cân bằng, là âm ở $\varphi = u_+$ và tích cực ở $\varphi = u_-$do độ lồi nghiêm ngặt. Vì thế,$u_+$ là một trạng thái cân bằng hấp dẫn và $u_-$là một trạng thái cân bằng đẩy. Kể từ khi rhs. của phương trình vi phân ở trên không phải là số ít và không có gốc bổ sung, bất kỳ nghiệm có giới hạn nào sẽ nhất thiết phải kết nối cả hai giá trị$u_\pm$ thông qua một chức năng giảm dần mượt mà $\varphi$. Sự tích hợp trong$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ là số ít ở giới hạn $\varphi = u_\pm$. Sự hội tụ của tích phân không đúng này xuất phát từ hành vi tiệm cận của nó tại các giới hạn.