Dẫn xuất công thức Breit-Wigner

Question

Tôi đã xem qua suy ra này của công thức Breit-Wigner cho sự cộng hưởng trong vật lý hạt nhưng không thể điều chỉnh các bước với kiến ​​thức của tôi về QM.

Trạng thái ban đầu được đưa ra bởi:

$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$

Đây là câu hỏi đầu tiên của tôi:

1. Sự phụ thuộc vào vị trí có bị coi thường? Nếu vậy, tại sao?

Sau đó, nó được tuyên bố

$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$

1. Tìm trạng thái $|\psi\rangle$Ở đâu? Ở thời điểm$t$? Điều đó có nghĩa là gì?

Bây giờ chúng ta có thể chuyển đổi miền này thành miền năng lượng bằng cách Fourier biến đổi $\psi(t)$:

$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$

và chúng tôi nhận được

$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$

1. Tại sao đây là một biến đổi Fourier nếu phạm vi bắt đầu tại $0$ và không phải ở $-\infty$?
2. Tại sao điều này hợp lệ? Tôi đã quen với việc chuyển đổi từ vị trí sang không gian xung lượng, nhưng năng lượng thời gian là điều tôi chưa bao giờ làm trong QM.
3. Hơn nữa, eigenstates là mấy giờ? Đối với vị trí và động lượng, chúng tôi có$|x\rangle$ và $|p\rangle$, nhưng trong thời gian?

Quy trình sau đó tiếp tục và khẳng định rằng xác suất tìm thấy trạng thái $|\psi\rangle$ với năng lượng $E$ được đưa ra bởi

$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$

1. Không nên $|f(E)|^2\textrm{d}E$?

Answer 1

Tôi sợ một trong những trò đấm bốc với văn bản không được tiết lộ của bạn. Tất cả các văn bản QM hay đều đề cập đến vấn đề này, nhưng không ai biết bạn đang gặp vấn đề gì. Trạng thái là$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ vì vậy xác suất để nó không bị phân rã đang giảm dần, $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$định luật phân rã hàm mũ tiêu chuẩn. Có thể nhân với số lượng các hạt như vậy để có được xác suất sống sót lớn, ví dụ như một phần chất phóng xạ.

(1,2) Bất kỳ sự phụ thuộc không gian có thể tưởng tượng nào đã được tích hợp ra ngoài, vì nó không liên quan đến sự phân rã. Trạng thái có thể ở bất cứ đâu và ở khắp mọi nơi trong không gian, và sự phân rã của nó sẽ không bị ảnh hưởng bởi các cân nhắc về không gian - hãy nghĩ đến việc thực hiện tất cả các tích phân không gian trước. Khi đó, bình phương của hàm sóng là xác suất tồn tại, trong toàn vũ trụ, ở trạng thái đó, chứ không phải xác suất mật độ không gian. Lưu ý rằng trạng thái này là một biểu tượng riêng của hamiltonian, nhưng giá trị riêng không có thật,$E_0-i/2\tau$, bởi vì hamiltonian không phải là hermitian. Xác suất tồn tại của trạng thái dưới dạng một phần của xác suất ban đầu là 1, khi bạn bắt đầu đo thời gian, do đó, giảm dần về 0 tại thời điểm vô hạn.

(3) Phạm vi thời gian của bạn sau đó là [0,$\infty$), và đó là những gì bạn tích hợp, vì vậy bạn chỉ thực hiện một nửa phép biến đổi Fourier, vì phép biến đổi Fourier đầy đủ sẽ đưa bạn trở lại giá trị vô hạn (duh!) và bạn chỉ muốn theo dõi xác suất sống sót so với thời điểm bắt đầu thời gian 0.

(4) Hợp lệ? nó là một hoạt động chính thức:$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$cung cấp cho bạn sự phân hủy quang phổ của trạng thái của bạn và hữu ích trong các ứng dụng không được tiết lộ của văn bản của bạn. Về cơ bản, nó là bộ truyền của trạng thái không ổn định được đề cập, cung cấp biên độ cho sự phân rã.

(6) Thật vậy, bình thường $|f(E)|^2$sẽ tương ứng với mật độ xác suất trong E , phân phối Lorentzian hoặc Cauchy , mà FT (đầy đủ), như bạn thấy, cung cấp cho bạn$\propto e^{-|t|/\tau}$, một nửa trong số đó bạn đã và đang sử dụng ở đây.

(5) là tối nghĩa ... Thời gian là một tham số.