Đạo hàm thời gian của ánh xạ $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - bộ tạo hệ thập phân

Question

Ai có thể vui lòng giải thích phương trình $1$ trong này https://math.stackexchange.com/a/697412/767953ở dạng đơn giản hơn? Ngoài ra tôi không thể hiểu cách từ phương trình$1$ Chúng tôi có thể thấy điều đó $u$ là nghiệm của phương trình nhiệt.

Answer 1

Dấu

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Tôi cho phép bạn chứng minh mỗi đẳng thức như một bài tập về nhà. Đối với câu hỏi khác của bạn, người ta có thể chứng minh rằng bộ tạo vô số của chuyển động Brown nếu được đưa ra bởi$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Hãy làm nó như một bài tập về nhà nếu bạn không rõ điều này.