Dấu vết toán tử trong lượng tử hóa Kontsevich
Trong lượng tử hóa, người ta nghiên cứu ánh xạ từ các hàm trên không gian pha đến các toán tử hoạt động trên không gian Hilbert. Hãy sửa một bản đồ như vậy và gọi nó là$Q$.
Lượng tử hóa biến dạng dựa trên ý tưởng rằng $Q$ có thể được nghiên cứu gián tiếp, bằng cách cung cấp không gian vectơ tuyến tính của các hàm trên không gian pha với một tích sao không giao hoán:
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevich đưa ra một công thức rõ ràng cho tích số sao có thể được áp dụng cho bất kỳ không gian pha nhỏ gọn nào và đưa ra một đại số kết hợp với hành vi chính xác trong$\hbar \rightarrow 0$giới hạn. Do đó, người ta thường khẳng định rằng công thức Kontsevich giải quyết được vấn đề lâu nay là chứng minh rằng bất kỳ đa tạp tổng hợp nhỏ gọn nào cũng thừa nhận một lượng tử hóa.
Tuy nhiên, thành phần quan trọng khác của Cơ học lượng tử là dấu vết của một toán tử. Các dấu vết là cần thiết để thực hiện dự đoán vật lý, tức là các giá trị kỳ vọng của các khả năng quan sát là dấu vết của các toán tử tương ứng nhân với ma trận mật độ.
Công thức Kontsevich không cung cấp cho tôi bản đồ lượng tử hóa, chỉ có tích số sao. Vậy làm cách nào để tính toán$\text{tr} Q(f)$ bằng cách chỉ biết $f$?
Một câu trả lời có thể mà tôi thấy là công thức cổ điển chứa: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
Đây $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ là dạng khối lượng được liên kết với dạng tổng hợp $\omega$, và tích phân nằm trên không gian pha.
Nhưng tôi chưa bao giờ nghe ai đó nói một cách dứt khoát rằng thực sự tích phân không gian pha này là đối chứng của dấu vết toán tử trong lượng tử hóa biến dạng, và tôi không thể đưa ra một lập luận tốt nào để chỉ ra rằng $\mathcal{O}(\hbar)$ chỉnh sửa không xuất hiện.
Câu hỏi của tôi là:
- Làm $\mathcal{O}(\hbar)$ hiệu chỉnh đối với tích phân không gian pha xuất hiện nói chung?
- Nếu có, có công thức rõ ràng cho dấu vết không?
- Nếu họ không làm vậy, làm thế nào để tôi thuyết phục bản thân về điều đó?
Trả lời
Wikipedia cho biết các thuộc tính sau để xác định duy nhất hoạt động theo dõi (lên đến bội số vô hướng):
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
Đối với bất kỳ tuyến tính nào $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ sẽ thỏa mãn cả ba thuộc tính. $\int f d\Omega $rõ ràng thỏa mãn (1) và (2). Đối với (3), chúng tôi muốn thể hiện rằng$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. Thật dễ dàng để chứng minh rằng$O(1)$ và $O(\hbar)$ các điều khoản biến mất cho đủ tốt $f,g$(sử dụng tích hợp theo các phần và sự tương đương của các phần hỗn hợp). Tuy nhiên, tôi không hiểu rõ về đồ thị Kontsevich để tự tin mở rộng đối số này cho các đơn hàng cao hơn trong$\hbar$. Nếu bạn có thể tìm thấy tài liệu tham khảo hoặc giải thích, hãy cho tôi biết. Giả sử đối số mở rộng, chúng tôi thấy rằng$\mathrm{tr} Q(f)$ và $\int f d\Omega $ tương đương với một bội số vô hướng.
Giá trị kỳ vọng được đưa ra bởi $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, vì vậy chúng tôi có thể chọn bình thường hóa hoạt động theo dõi của mình sao cho $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$Điều này đủ để xác định duy nhất tất cả các vật lý. Bạn có thể xác định trong một$O(\hbar)$ trong công thức tích phân ban đầu, nhưng một khi bạn chuẩn hóa ma trận mật độ của mình, nó không có tác dụng vật lý nào.