Định nghĩa của supremum
Tôi chỉ bối rối bởi một quan sát tôi đã thực hiện trên các văn bản đại học trong Phân tích thực tế. Các khái niệm về supremum và infimum không đặc biệt dễ nắm bắt đối với những sinh viên mới làm quen với chủ đề này, và chắc chắn họ sẽ dễ dàng hơn rất nhiều khi hiểu về mức tối đa và tối thiểu của một tập hợp (bao gồm cả thực tế là chúng có thể không tồn tại) và giới hạn trên. Tất cả những gì người ta phải làm là chỉ ra các khoảng thời gian như$[0,2]$ và $[0,2)$ và nói về số 2 và số 3. Vậy tại sao không xác định giới hạn trên nhỏ nhất của một tập hợp $S$ (trong trường có thứ tự) là trường tối thiểu (trường tồn tại) của tập hợp tất cả các giới hạn trên cho $S$?
Tôi đã xem xét một số lượng lớn các văn bản đại học về Phân tích Thực tế, và tôi chưa bao giờ tìm thấy định nghĩa đơn giản này, hoặc từ "tối thiểu" thậm chí được đề cập. Hầu hết trong số họ sẽ xác định nó bằng cách khó hơn nhiều "đó là giới hạn trên và đối với bất kỳ số nào nhỏ hơn nó, sẽ có một số, v.v.". Một số người sẽ nói: đó là giới hạn trên$M$ như vậy nếu $x$ là một giới hạn trên, sau đó $M\leq x$. Một lần nữa, tại sao không nói, "đó là mức tối thiểu của tập hợp tất cả các giới hạn trên"? Một số sẽ chỉ nói "đó là giới hạn trên ít nhất" nhưng thậm chí đây là một sự thay đổi ngôn ngữ, từ tối thiểu đến ít nhất và trong mọi trường hợp, họ sử dụng "giới hạn trên ít nhất" chỉ là tên cho khái niệm, sau đó tiếp tục xác định nó sử dụng cách phức tạp.
Tôi không có ý đăng bài này như một chủ đề thảo luận, chỉ là một câu hỏi thực sự về việc liệu tôi có thiếu điều gì quan trọng hay không, điều này sẽ giải thích lý do tại sao nên định nghĩa tối cao theo cách đó.
Trả lời
Tôi không nghĩ rằng có bất kỳ sự khác biệt nào giữa việc nói rằng đó là "giới hạn trên ít nhất" hay nói rằng "đó là giới hạn tối thiểu của tập hợp tất cả các giới hạn trên".
Để cho $S$ là một tập hợp và để $M$là tập hợp của tất cả các giới hạn trên. Sau đó, chúng ta có hai trường hợp có thể xảy ra:$\exists \max S$ hoặc là $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
Nếu $\exists \max S$, thì điều này có nghĩa là $\forall s \in S, s \leq \max S$, vì vậy điều này ngụ ý rằng $\max S \in M$.
Bây giờ, hãy giả sử rằng $\max S$ không phải là mức tối thiểu của $M$. Điều này có nghĩa rằng:$\exists m \in M: m < \max S$. Sau đó,$\forall x \in S, x \leq m$, bởi vì $m$cũng là một giới hạn trên. Nhưng$\max S \in S$, vì vậy menas này $\max S \leq m$. Thuộc tính xác định của$m$ là: $m \in M: m < \max S$. Vì vậy, đây là một điều trái ngược. Điều này có nghĩa rằng$\max S$ thực sự là mức tối thiểu của $M$ và như vậy $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$:
Bây giờ hãy giả sử rằng $\nexists \max S$. Để cho$M$ là tập hợp của tất cả các giới hạn trên.
Hãy giả sử rằng $\nexists \min M$. Điều này có nghĩa rằng$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Điều này có nghĩa là nếu$a_1 \in M$, sau đó $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Nhưng bởi vì$a_1$ không phải là tối thiểu sau đó $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. nghĩa là chúng ta có thể đến gần tùy ý như chúng ta muốn$s$. Sau đó, điều này có nghĩa là chúng ta có thể tìm thấy một chuỗi$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ như vậy mà $\lim _n a_n = s$.
Bây giờ, hãy $s_1, s_2 \in S$ như vậy mà $s_1 < s_2$. Sau đó, chúng ta có thể tìm thấy một chuỗi$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ như vậy mà $\lim _n a_n = s_1$. Nhưng vì chúng ta có thể tùy tiện đến gần$s_1$, điều này có nghĩa rằng $\exists k \in \Bbb N:$ nếu $n \geq k$ sau đó $s_1 < a_n < s_2$. Đây là một mâu thuẫn, như$a_n \in M$là một giới hạn trên. Điều này có nghĩa rằng$\exists \min M$.
Vì vậy, kết luận rằng $\sup S = \min M$ thậm chí nếu $\nexists \max S$.
Vì vậy, đối với mọi bộ $S$, $\sup S = \min M$. Bạn có thể thực hiện một lập luận tương tự để cho thấy rằng$\inf S = \max M$