Giải pháp vấn đề USAMO
Tôi đã hỏi một gợi ý ở đây https://math.stackexchange.com/questions/3918416/usamo-problem-hint?noredirect=1#comment8081183_3918416Tôi đã thử cảm ứng một lần nhưng tôi nghĩ rằng nó sẽ không hoạt động nên tôi đã bỏ nó, nhưng sau khi nhìn thấy nhận xét của @lulu, tôi quyết định thử lại. Vui lòng xem giải pháp của tôi có đúng không.
[USAMO 2003] Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại một số có n chữ số chia hết cho $5^n$ tất cả các chữ số của chúng là lẻ.
GIẢI PHÁP CỦA TÔI: Vì vậy, điều đầu tiên, tôi đã kiểm tra một số trường hợp nhỏ và tìm ra rằng chúng tôi có thể tạo ra một số có (n + 1) chữ số thỏa mãn thuộc tính bằng cách thêm một số vào phía trước, tức là. thêm b 10$^n$ đến số có n chữ số.
Chúng ta sẽ tiến hành quy nạp, giả sử P (n) có nghĩa là tồn tại một số gồm n chữ số chia hết cho $5^n$ tất cả các chữ số của chúng là lẻ.
P (1) đúng là 5 | 5.
Cho P (k) là true, tức là. để 5$^k$ | $a_ka_{k-1}...a_1$ với $a_i$ $\neq$ 2l cho tôi $\in$ {1,2 ... k}.
Tôi sẽ cố gắng chứng minh điều đó bằng cách thêm $ b \cdot 10^k $ với $ b \in {1,3,5,7,9} $. chúng ta có thể có một số chia hết cho$5^{k+1}$.
Vì vậy, chúng tôi muốn 5$^{k+1}$ $|$ $ b \cdot 10^k $ + $a_ka_{k-1}...a_1$. -> eq.1
Để cho $a_ka_{k-1}...a_1$ = $5^km $
Vì vậy, từ eq. 1, nhập liệu$a_ka_{k-1}...a_1$ = $5^km $ , chúng ta sẽ lấy
5$^{k+1}$ $|$ $ b \cdot 10^k $ + $5^k$m, sau đó chia cho $5^k$ , chúng tôi cần
5 $|$ $2^k \cdot b + m$
như $ b \in {1,3,5,7,9} $ , $\equiv$ 0,1,2,3,4 (mod 5)
Vì vậy, bây giờ m $\equiv$ 0,1,2,3,4 (mod 5), cho m $\equiv$ r (mod 5),
Chúng tôi cần $2^k \cdot b + r =0 (mod 5)$
hiện nay,$2^k \equiv$ 1,2,3,4 (mod 5)
rất cẩn thận đi qua từng trường hợp của các giá trị có thể có của $2^k$ và m (mod 5) (có 16 trường hợp), chúng tôi chứng minh rằng chúng tôi có thể tìm thấy $ b \in {1,3,5,7,9} $ như vậy 5 $|$ $2^k \cdot b + m$ .
Đây là lần đầu tiên tôi viết nhiều như vậy bằng latex, vì vậy tôi xin lỗi nếu có bất kỳ sai sót.
Nếu bạn là học sinh lớp 7, bạn sẽ cho tôi bao nhiêu điểm?
Trả lời
Tôi không nghĩ rằng câu trả lời của math.se có thể giải quyết cách họ đánh dấu, nhưng tôi có thể tư vấn về cách viết câu trả lời rõ ràng hơn, bởi vì ý tưởng của bạn là đúng nhưng chúng có thể làm được với sự rõ ràng về đại số và sự rõ ràng về số học modulo. (Nếu bạn thấy mình tự nhận rằng nếu chúng ta làm điều gì đó thì cuối cùng chúng ta sẽ nhận được một kết quả cụ thể, hãy cố gắng phát biểu điều này như một định lý tồn tại hiển nhiên, nổi tiếng hoặc đã được chứng minh trong công việc của bạn.)
Chúng tôi yêu cầu một số trình tự $a_n$ của $n$-digit số trong cơ sở $10$, tất cả các chữ số lẻ, thỏa mãn $5^n|a_n,\,10^n|a_{n+1}-a_n$. Đặc biệt viết$a_n=5^nb_n,\,a_{n+1}=a_n+10^nc_n$, vì thế $b_1=1$ (bởi vì $a_1=5$) và$$5^{n+1}b_{n+1}=a_{n+1}=c_n10^n+5^nb_n\iff5b_{n+1}=c_n2^n+b_n,$$vì vậy nó đủ để lựa chọn $c_n\in\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}$ với $5|c_n2^n+b_n$. Sự lựa chọn này là có thể bởi vì những$5$ sự lựa chọn của $c_n$ mỗi loại đạt được một mô đun lớp cặn khác nhau $5$ (bởi vì $5\nmid k2^n$ cho $k\in\{2,\,4,\,6,\,8\}$), và chính xác một người đạt được $5|c_n2^n+b_n$.
Đây là một $\,x\in\Bbb Z\,$ với $\,5\mid 2^k x - m\!\iff\! \bmod 5\!:\ 2^k x \equiv m\,$ có gốc $\,x.\,$ Bởi https://math.stackexchange.com/a/3290965/242
$$\begin{align} \color{#c00}c\ x &\equiv \, d\!\!\pmod{\!\color{#0a0}n}\ \ \text{has a root}\ x\!\iff\! \gcd(\color{#c00}c,\,\color{#0a0}n)\mid d\\[.3em] {\rm thus}\ \ \color{#c00}{2^k} x&\equiv m\!\!\!\pmod{\!\color{#0a0}5}\ \ \text{has a root}\ x,\ \, {\rm by}\ \ \gcd(\color{#c00}{2^k},\color{#0a0}5)\!=\!1\end{align}\qquad$$
và chúng ta có thể chọn một gốc $\,x\in \{1, 3, 5, 7, 9\}\,$ vì nó là một https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Residue_systems $\!\bmod 5;\,$ cách khác: $ $ nếu $\,0\le x < 5\,$ thậm chí sau đó $\,x':= x\!+\!5\,$ là số lẻ $< 10,\,$ và $\,x'$ vẫn là gốc của $\,x'\equiv x\pmod{\!5}$.