Giải thích lý thuyết đơn nguyên về số thực trong lý thuyết đơn nguyên về trật tự tuyến tính.

Question

Dưới đây là phần trích dẫn từ Gurevich, Shelah - Diễn giải Logic bậc hai trong Lý thuyết trật tự đơn nguyên . Tôi đang cố gắng hiểu lý thuyết đơn nguyên về đường thực có thể diễn giải như thế nào trong lý thuyết đơn nguyên về trật tự (chúng không bao gồm bất kỳ giải thích hoặc chứng minh nào thêm, chỉ nói rằng nó có thể được thực hiện dễ dàng).

Dưới đây là một số định nghĩa có thể hữu ích. Nếu$(\alpha,<)$ là một trật tự tuyến tính sau đó bởi 'lý thuyết đơn nguyên của $\alpha$'có nghĩa là lý thuyết bậc nhất của cấu trúc $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ Ở đâu $<$ là thứ tự của $\alpha$được đưa ra trên các tập con singleton. 'Lý thuyết đơn nguyên về trật tự' là giao điểm của tất cả các lý thuyết về trật tự đầu tiên này khi chúng tôi cho phép$\alpha$ thay đổi trên tất cả các đơn đặt hàng tuyến tính.

Có lẽ có một số tiên đề đệ quy không $T_{\mathbb{R}}$ sao cho nếu chúng ta kết hợp lý thuyết trật tự đơn nguyên với $T_{\mathbb{R}}$ chúng tôi có được lý thuyết hoàn chỉnh về cấu trúc $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (Đáng chú ý, cả lý thuyết đơn nguyên về trật tự và lý thuyết đơn nguyên về$\mathbb{R}$ là không thể quyết định).

Tôi không thể tìm thấy cách giải thích 'dễ dàng' này nhưng cảm thấy tôi có thể thiếu một cái gì đó rõ ràng.

Answer 1

Tôi không biết cách sửa chiến lược ban đầu của mình - đặc biệt, mặc dù tôi không có ví dụ ngược lại, tôi nghi ngờ rằng "là một trật tự tuyến tính hoàn chỉnh của Dedekind không có điểm cuối hoặc điểm riêng biệt, tất cả các biên giới con của chúng đều có tính đồng chất và đồng tính $\le \omega$" không nhất thiết phải ghim$\mathbb{R}$ lên đến đẳng cấu.

Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể nhận được mức giảm dự kiến ​​(mặc dù trong nháy mắt, điều này không mang lại sự giải thích - vẫn đang suy nghĩ về điều đó). Nói rằng một trật tự tuyến tính$A$ Là $\mathbb{R}$Nếu nó là Dedekind-hoàn chỉnh và không có điểm cuối hoặc điểm bị cô lập. Quan sát chính là:

(Bổ đề) Mọi$\mathbb{R}$trật tự ish có một đơn hàng con đẳng cấu với $\mathbb{R}$, và mọi thứ $\mathbb{R}$ish suborder of $\mathbb{R}$ là đẳng lập với $\mathbb{R}$.

Vấn đề sau đó là $\mathbb{R}$nằm ở dưới cùng của lớp thử thách có thể xác định được MSO theo nghĩa MSO có thể xác định được. Vì vậy, chúng tôi có thể thực hiện dịch sau:

(Định nghĩa) Đối với một câu MSO$\varphi$, để cho $\hat{\varphi}$ là câu MSO "Mọi $\mathbb{R}$ish order có một $\mathbb{R}$ish suborder thỏa mãn $\varphi$. "

Theo bổ đề, chúng ta có rằng $\hat{\varphi}$ là một phần của lý thuyết MSO về trật tự $\mathbb{R}\models\varphi$:

• Nếu $\mathbb{R}\not\models\varphi$ sau đó $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, khi tất cả $\mathbb{R}$tiểu biên giới ish của $\mathbb{R}$ isomorphic to $\mathbb{R}$ theo bổ đề và do đó cũng không thỏa mãn $\varphi$.

• Ngược lại, nếu $\mathbb{R}\models\varphi$ sau đó mỗi $\mathbb{R}$trật tự tuyến tính ish có một $\mathbb{R}$ish suborder thỏa mãn $\varphi$ - cụ thể là, bất kỳ đơn hàng con nào đẳng cấu với $\mathbb{R}$ chính nó, được đảm bảo tồn tại theo bổ đề.

Bản đô $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ rõ ràng là có thể tính toán được và vì vậy chúng tôi giảm được $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ đến lý thuyết đơn nguyên về trật tự như mong muốn.