Giới hạn và tích phân kép?

Question

Xác định tích phân kép $\int \int_{R} ye^y dxdy$, Ở đâu $R$ Là $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Tôi đang gặp khó khăn trong việc hiểu mình nên suy nghĩ như thế nào để đạt được giới hạn.

$x\ne y$ beo $1\leq xy \leq 2$.

$x$ sau đó ít nhất phải lớn hơn 1 $y$ bởi vì $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Cái này cho tôi $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Tôi có thể nói trước rằng các giới hạn là $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Bạn phải tích hợp hai khu vực. Các điểm giao cắt là

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

Chúng tôi có điều đó $R$ tương ứng với dải giữa các dòng

• $y=x-2$
• $y=x-1$

và các hypebol

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Một cách để tiến hành là tìm các điểm giao nhau cho các vùng này và sau đó tích hợp tương ứng cho từng phần.