Hàm tạo đa thức Hermite

Question

Làm cách nào để viết đa thức sau đây về mặt đa thức Hermite, $H_n(z)$? \ begin {method} P_n (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {[n / 2]} \ frac {n! a ^ k} {k! (n-2k)!} (2a z) ^ { (n-2k)} \ end {method} Tôi đã nhận thấy$H_n(iaz)$ xuất hiện gần, nhưng $a^k$ yếu tố khó hiểu.

Biểu thức này nhận được từ khai triển chuỗi của chuỗi Taylor của \ begin {method} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ 2} \ end {method} Có một tập đa thức có thể được tìm thấy từ \ begin {method} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ m} \ end {method} ở đâu$m=2,3,\dots$?

Answer 1

Bạn muốn $a^{k+n-2k}=a^{n-k}$ vậy nếu bạn tham gia vào cuộc tranh luận thì sao $(-a)^{n/2}$ và nhân với hệ số đó, bạn sẽ nhận được $$(-a)^{n/2}H_n((-a)^{1/2}\cdot z)=(-a)^{n/2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2\sqrt{-a}\cdot z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{\frac{2n-2k}{2}}$$ $$=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{n-2k+k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(-2az)^{n-2k}(-a)^k=P_n(-z).$$ Vì thế $P_n(z)=(-a)^{n/2}H_n(-(-a)^{n/2}z).$